【中学受験算数】Ⅰ-03.計算のきまり・逆算

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まっちゃん

中学受験を目指す小4用の逆算のノートです。
逆算は方程式そのものなのですが、解き方がわかりにくいですよね。。
分数のかけ算・わり算やったら、もう少し解きやすくなるかなと思うので、そのときにノート追加します。

2025.04.27 公開

中学受験算数逆算分配法則

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ノートテキスト

ページ1:

計算の決まりと逆算 (還元算)・ 1. 計算の順序
● 計算は、 ① かっこの中 ②かけ算・わり算 ③ たし算・ひき算の順序で左から計算
●計算の3つの法則 (交換法則、 結合法則、 分配法則) を上手に使うと、 計算が楽に早くできる
(1)計算の順序
計算は次の決まりにしたがう
①かっこの中を先に計算
①' 内側のかっこから順番に計算していく
(内側)( )→{}→[](外側)
小かっこ 中かっこ 大かっこ
(2) 計算のくふう
> 交換法則・結合法則を組み合わせると、
たし算だけの式は、どの順序でたしても答えは同じ
かけ算だけの式は、どの順序でかけても答えは同じ
順序を変えたり分解して工夫すると、楽に計算できる
【法則】
(例) 33 - [3x{3 + (33-3)+3}-3] +3= 21
こうかん
交換法則
a+b=b+a
②かけ算・わり算を先に計算
axb = bxa
③たし算・ひき算を左から順に計算
(例) 25+ (1 + 2×2)=25+ (1+4)･･･かっこの中のかけ算を計算
= 25÷5
= 5
・・・かっこの中を計算
・・・わり算の計算
↑ =の位置をそろえる
けつごう
結合法則
ぶんばい
分配法則
(a+b)+=a+ (b+c)
(axb)xc=ax(bxc)
(例)3 + 21 {14- (4+3)}
=3+21+{14-7}
=3+21+7
=3+3
= 6
↑ =の位置をそろえる
① () (小かっこ)の中を計算
{ } (中かっこ)の中を計算
･･②わり算を計算
･･･ ③ たし算を計算
(a+b) x = axe+bx
(a-b)xc=axe-bx
ax (b+c)=axb+axc
ax(b-c)=axb-axc
Point 左辺から右辺だけでなく、 右辺から左辺も成り立つ
(結合法則の例) 10や100を先に作れると楽にかけ算ができる
32×25×4=32×(25×4)=32×100=3200
(分配法則の例) 同じ数字のかけ算が並ぶときに、まとめてからかけ算
314×12 + 314×2=314×(12-2)=314×10=3140
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3025/9/9
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計算の決まりと逆算 (還元算) 2. 逆算 (還元算)
-
●逆算とは、 わからない数を口として式を作り、 口に当てはまる数を求めること。 口の代わりにxなども使われる
● □を求めるときは、 普通の計算と逆の順序で計算。ひき算・わり算は間違いやすいので注意!
(1) 逆算の解き方
逆算とは わからない数を口 (やx) として式を作り、
【公式】
その式から口に当てはまる数を求めること。 還元算とも言う
③かけ算
【公式】
①たし算
□+ b = c→□=e-b
(例) x+2=5
x=5-2=3
a +□= c⇒
=c-a
a
(例) 3+x=5
x=5-3=2
②ひき算
□ - b = c⇒□=b+c
(例) x-2=5
x = 5+2=7
@-->>-a-c
□=c⇒
(例)5-x=3
x=5-3=2
b
a
b
□xb = ⇒□=e+b
(例)xx3=15
x=15+3=5
ax
= c⇒□= c÷a
a
(例) 3xx = 15
④わり算
x=15÷3=5
|+b=c⇒□=cxb
(例)x÷3=5
x = 5x3 = 15
a+□=c⇒□=a+c
(例) 15x=3
x = 15+3=5
b
b
b
a
2

ページ3:

計算の決まりと逆算 (還元算) 3. 複雑な計算
-
複雑な計算も交換法則や分配法則を使って、 100や1000などを作ることで簡単に計算できる
● 分配法則が使えるように、 四則演算をつけ加えて共通な数字を無理やり作り出す
(1)100や1000を作る
結合法則を使って、 たしたり、 かけたりすることで、
100や1000になる計算を先にやる
(2) 共通な数字を作り出して分配法則を使う
分配法則でまとめられるように、共通の数字を見つける。
交換法則を使って、 たし算• かけ算の順序を入れ替える
121×31-91×31 + 31×70
√5x2 = 2x5 = 10
(例)
おぼえると便利!
25×4 = 4×25 = 100
125×8 = 8×125 = 1000
分配法則で
まとめる
=31x(121-91+70 )
= 31×100
=3100
↑の位置をそろえる
+かーか間違え
ないように注意
同じ数字(○×31)の
かけ算
→交換法則より、
31×○でもOK!!
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(例)17 + 24 + 76 = 17+ (24+76) = 17 + 100 = 117
100を作る
(例) 34×4×25=34×(4×25)=34×100 = 3400
交換法則を
使って入れかえ
100を作る
(例)2×3×4×5= (2×5)×(3×4)=10×12=120
> 分配法則でまとめられるように、 共通の数字を作り出す
(例) 44×44-33×33-22×22-11×11
( 桜美林)
■=11×4×11×4-11×3×11×3-11×2×11×2-11×11
= 11×11×(4×4 - 3×3-2×2-1)
44も33も22も
11 の倍数なので、
11×11が共通になる
10を作る
分配法則で
まとめる
> 100や1000を作って分解してから、 分配法則でばらす
= 11×11×(16-9-4-1)
=121×2
(例)102×36= (100+2)×36=100×36 +2×36 = 3672
分配法則で
ばらす
(例)314×98 = 314×(100-2)
分配法則でばらす
= 314×100-314×2
=242
(例) 3.14×7 + 6.28×4 - 31.4
= 3.14×7 + 3.14×2×4-3.14×10
= 3.14×(7+8-10)
=
= 3.14×5
3.14 に合わせる
分配法則で
まとめる
=31400-628
=30772
↑ =の位置をそろえる
=
= 15.7
3

ページ4:

計算の決まりと逆算 (還元算)4. 複雑な逆算
●複雑な逆算を取るときは式の一部を大きな
にすると公式に当てはめやすい
●公式を忘れたときは、両辺 (=の左右の両方ともに) 同じ数を+, -, x, +することで逆算を解ける
(1) 複雑な逆算
□に関係しないところは、交換法則・ 結合法則を使いながら、
できる限り先に計算する
(2) 【発展】 逆算の別の解き方
□の代わりにxを使っても良い
小6以上はxを使うことが多い
> 両辺 (=の左右の両方ともに) 同じ数を+,-,,+
することで、 逆算を解くことができる
中1の一次方程式での教え方
にすると
公式に当てはめやすい
複雑な逆算では、式の一部を
大きな
かけ・わり算は先にやる
・たし算だけなら先にやる
・ひき算は先にやらない!
(例) 30-□×4 + 2 = 8
(解)□に関係しないたし算だけ先にやると、 30+2)-□ x4 = 8
(例)
x +7=8
左も右も
7×7=8
□×4を
とすると、 32×4 =8
□×4
x=56
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=32-8=24
□ = 24÷4=6
(例) (4+ □)×4 +444 (足立学園)
(解)
( 4 + □) x4 = 44-4=40
4 + □ = 40 ÷4=10
頭の中で大きな
(4+) ×4 を作って、
□=10-4=6
左側 (左辺) に書く
↑の位置をそろえる
文章題は、 「ある数」の答えが出そうな方を式にして計算する
(例) ある数に4を加えてから6倍するところを、 間違えて4で割ってから6を
加えてしまったため、答えが9になりました。 正しい答えを求めなさい。
(解ある数を□とすると、 間違った式は、 □+4+6=9
□ ÷4=9-6=3
□ = 3x4 = 12
したがって、正しい答えは (12+4)×6 = 96
(例)
左も右も
xをたして
23をひく
31-x = 23
31ktk-23=23 x 23
8=x
xを消せる
左右ひっくり
返してもOK!
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計算の決まりと逆算(還元算) 【参考】計算や逆算を数学で解く
●交換法則・結合法則・分配法則は「正負の数」で再出 (中学1年)
●逆算は一次方程式そのもの。 両辺に同じ数を加減乗除することで解xを求めることができる(中学1年)
(1) 計算の法則
> 足し算 (加法)、掛け算 (乗法) に関する法則
【法則】 かけ算の記号 (x)は省略
(2)逆算
> わからない数をxとして式を作り、 その式からxに当てはまる数
を求める (一次方程式そのもの)
一次方程式の場合は、 逆算の公式を覚えるというより、
両辺に同じ数を足したり掛けたりすることでxを求める
【公式】
①足し算 (加法) (交換法則より、 x + α = bも同じ)
x=b-a (両辺に-αを加える)
交換法則
a+b=b+a
ab = ba
結合法則
a+x= b
(a + b)+ c = a + (b + c)
②引き算 (減法)
•
分配法則
(ab)c = a(bc)
(a + b)c = ac + bc
x-a=b
=>
⇔
x = b+α (両辺にαを加える)
a-x = b
x=a-b (両辺にx-bを加える)
③掛け算 (乗法) (交換法則より、 xa=bも同じ)
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a(b + c) = ab + ac
引き算(減法) は引く数の符号を変えてを足すと考える
a-b=a+(-b)
割り算 (除法) は割る数の逆数を掛けると考える
a
a+b=
b
b
ax = b
(a≠0)
⇒
x=-
両辺を掛ける
a
④割り算 (除法)
-=b
>>
x = ab
(両辺にαを掛ける)
a
a
a
= b
>>
x=
(両辺に掛ける)
x
b
(b≠0)
5