力学2

907

ジンくん

2026.01.16 公開

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ノートテキスト

ページ1:

力学 2 レポート3問題 (円錐曲線、 質量が変わる運動)
手書き A4 レポートをスキャン、もしくはタブレットに記入して pdf ファイルにて提出する
こと。表紙は不要。 必ず最初にレポート問題番号(レポート1等)、 学籍番号、氏名を明記す
ること。 ファイル名は自由。 導出を必ず記すこと。 答えのみのものは0点とすることがあ
る。剽窃が確認された場合は当該レポート (写した写されたに関わらず)を全て0点とする。
1. 円錐をどのように平面で切ったら切り口にそれぞれ楕円、 放物線、 双曲線が現れるか調べ
よう。 次の手順で調べよ。
(1) xyz空間内で、頂点が原点にあり、軸がz軸上にあり、 半径rの底面がz=h (h>0)にあ
る(つまり正の2軸方向に開いた)直円錐の側面を表す方程式を書け。
(2)y軸に平行で、 法線ベクトルとx軸正の方向とのなす角が0で、 (0,0,α) を通る平面の方程
式をtane,aを用いて表せ。ただし0<< "0<aくんとする。
(3) (2) の平面で (1) の直円錐の側面を切ったときに、 切断面に楕円、 放物線、 双曲線が現れ
るための6に対する条件を分類せよ。 ただし平面が円錐の底面と交わるときは、 切断面
にこれらの曲線の一部のみが現れるが、 その場合でもそれぞれの曲線が現れたと見な
すものとする。
ヒント; 線形代数2の知識を思い出せ。 また、 行列式は固有値の積として表されること
を思い出せ。
2. 雨滴が、単位時間当たり質量μ (μは定数) を失いながら落下している。 この雨滴が質量mo、
速さゼロで落下を始めた。落下を始めてからの時間をt、重力加速度の大きさをgとし、空
気の抵抗は無視できるものとして以下の問いに答えよ。
(1)時間のときの雨滴の質量をmo, k,tで表せ。 ただしtは雨滴が蒸発しきる前の時間とする。
時間のときの雨滴の速さをg,mo, k,tで表せ。
ヒント: まず運動量を求める。
(3)落下を始めてから、質量が出発時の半分になるまでに雨滴が落下した距離をg,mo,μで
表せ。
以上

ページ2:

力学 2 レポート1問題 (円柱座標、 角運動量)
手書き A4 レポートをスキャン、もしくはタブレットに記入して pdf ファイルにて提出する
こと。表紙は不要。 必ず最初にレポート問題番号(レポート1等)、 学籍番号、氏名を明記す
ること。ファイル名は自由。 導出を必ず記すこと。 答えのみのものは0点とすることがあ
る。剽窃が確認された場合は当該レポート (写した写されたに関わらず)を全て0点とする。
1.半径aの無限に長い円柱の軸の方向をz座標とする円柱座標を取る。 円柱の側面上のO≤
≤ かつ≤zs3の部分をαとし、αを表面に持ち、円柱内部を一部含めた体積0≤ps
a0≤≤0≤z≤3の部分をβとする。
(1) αの周の長さを求めよ。
(2) αの面積を求めよ。
(3)関数f(r) = xyzに対し、Saf(r) ds, Spf(r) dV をそれぞれ求めよ。
2.xyz空間内で、質量mの質点が、 xy平面上で原点を中心とする楕円軌道上を運動している。
楕円の長軸、短軸はそれぞれx,y軸上にあり、長さはそれぞれ2a,2b (a>b)である。また、
質点の位置ベクトルrexのなす角は時間のときを定数としてwtである。このとき以
下の問いに答えよ。
(1)この質点の原点の周りの角運動量を3次元ベクトルとして求めよ。
(2) この質点に働く原点の周りの力のモーメントを求めよ。
(3) この質点の面積速度の大きさを求めよ。
以上

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力学2 レポート5問題 (慣性モーメント、 剛体の平面運動)
手書き A4 レポートをスキャン、もしくはタブレットに記入して pdf ファイルにて提出する
こと。 表紙は不要。 必ず最初にレポート問題番号(レポート1等)、 学籍番号、氏名を明記す
ること。 ファイル名は自由。 導出を必ず記すこと。 答えのみのものは0点とすることがあ
る。剽窃が確認された場合は当該レポート (写した写されたに関わらず)を全て 0 点とする。
1. 底面の半径がα、 高さがんで、 一様で質量がMの円錐Cがある。 以下の問いに答えよ。
(1) 底面からの高さがz (0≤z≤ h)の地点で、 底面と平行な面でこの円錐を切ったとき、
切り口の円の半径を a, h, zで表せ。 解答のみでよい。
(2) 円錐Cの密度をa, h, Mで表せ。 解答のみでよい。
(3) 円錐Cの、 中心軸の周りの慣性モーメントをa, h,Mのうち必要な文字を用いて表せ。
2. 右図のように質量m、 半径αの一様な球体の中心を通る水平軸
(図中黒線) に対して鉛直上方 a/2の箇所に水平に軸を通し(図中
赤線)、 重力のみで運動する振り子を作った。 重力加速度の大き
さを」として以下の問いに答えよ。
(1)この球体の中心を通る軸(図中黒線)の周りの球体の慣性モ
ーメントをam で表せ。
(2) (1)の水平軸に対してa/2離れた水平軸 (図中赤線)の周りの
球体の慣性モーメントをa,mで表せ。
(3)この振り子の周期をa,g,m で表せ。
以上

ページ4:

N
2
F3
ふ
3
W
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S
mouse
力学 2
レポート4問題(円錐曲線、質量が変わる運動)
手書き A4 レポートをスキャン、もしくはタブレットに記入して pdf ファイルにて提出する
こと。表紙は不要。必ず最初にレポート問題番号(レポート1等)、 学籍番号、氏名を明記す
ること。ファイル名は自由。 導出を必ず記すこと。答えのみのものは0点とすることがあ
る。剽窃が確認された場合は当該レポート (写した写されたに関わらず)を全て0点とする。
1. 右図のようにxy平面上に半径a、 中心角日の一様な無限に細い円弧が
原点を中心として置かれている。0 とするとき、
以下の問いに答えよ。
(1)この円弧の線密度を入とするとき、円弧の質量をα,入,0で表せ。
解答のみでよい。
(2)この円弧の重心のx,y座標をそれぞれ求めよ。
y
2. 図のように、 xy平面上に厚さの無視できる直角三角形の板がある。
この板の直角をなす2辺の長さがそれぞれa,b (a,b>0)であり、
この板の面密度がcを定数として
y
b
a(x,y)=cxy
であるとき、 以下の問いに答えよ。
(1) この板の全質量を求めよ。
(2) この板の重心のx,y座標をそれぞれ求めよ。
a
以上

ページ5:

力学2 レポート2問題 (慣性力)
手書き A4レポートをスキャン、もしくはタブレットに記入して pdf ファイルにて提出する
こと。 表紙は不要。 必ず最初にレポート問題番号(レポート1等)、 学籍番号、氏名を明記す
ること。 ファイル名は自由。 導出を必ず記すこと。 答えのみのものは0点とすることがあ
る。剽窃が確認された場合は当該レポート (写した写されたに関わらず)を全て0点とする。
1. 右図のように角度8の斜面が滑らかな水平面上に置かれてお
り、さらにその上に質量mの物体が置かれている。 物体と斜面
の間の静止摩擦係数をμ、動摩擦係数をμ'とし、 重力加速度の大
きさをgとする。 今斜面を左向きに押して大きさαの加速度を持
たせるとき、以下の問いに答えよ。 ただしμ <tan0 <1とする。
(1) 斜面上の物体が下に滑るための最大のαの値を求めよ。
(2) 斜面上の物体が上に滑るための最小のαの値を求めよ。
(3) (2) で得られた値より大きなαを持つように斜面を押したとき、斜面上の物体が斜面に
対して持つ加速度の大きさを求めよ。
2.2軸周りに回転している座標系での質量mの質点の運動を考える。 回転の方向はz軸正の方
向から見た時に反時計周りで、 角速度の大きさはωとする。 この座標系で円柱座標 (p,,z)
を取り、それぞれの方向の単位ベクトルをep, egrezとする。 また、時間に関する1階、
2階微分をそれぞれ dot, double dot で表す。 このとき以下の問いに答えよ。
(1) ep Xeezxep ez x ej をそれぞれ外積のない形で表せ。
(2) 回転座標系におけるep, ep をそれぞれp,, zおよびこれらの時間微分のうち必要なもの
を用いてep, espiezの線形結合として表せ。 係数ゼロの項は書かなくてよい。
重要な注意
今聞かれているのは、回転座標系における単位ベクトルの変化である。 授業でやった、 回転
座標系に張り付いた単位ベクトルが、静止系から見てどう時間変化するか、とは異なること
に注意せよ。
(3)(2)と同様にepie, ezの線形結合で表せ。 単位ベクトルの時間微分を含まない形
にすること。
(4)a=rを (2) と同様にep, eyezの線形結合で表せ。 単位ベクトルの時間微分を含まない形
にすること
(5) コリオリカと遠心力をそれぞれ (2) と同様にep, eyezの線形結合で表せ。 外積および単
位ベクトルの時間微分を含まない形にすること。
以上
水平面