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Sさんのクラスでは,先生が示した問題をみんなで考えた。
次の各問に答えよ。
[先生が示した問題]
aを正の数,nを自然数とする。
右の図1のように,1辺の長さが2acm の正方形に,各辺の中点を
結んでできた四角形を描いたタイルがある。正方形と描いた四角形で
囲まれてできる,■で示された部分の面積について考える。
図1のタイルが縦と横にn枚ずつ正方形になるように,このタイル
を並べて敷き詰める。右の図2は、n=2の場合を表している。
図1のタイルを縦と横にn枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形で、
■で示される部分の面積をPcm?とする。
また,図1のタイルと同じ大きさのタイルを縦と横にn枚ずつ並べ
敷き詰めてできる正方形と同じ大きさの正方形で,各辺の中点を結ん
でできる四角形を描いた別のタイルを考える。右の図3は,n=2の
場合を表している。
図1と同様に,正方形と描いた四角形で囲まれてできる部分を■で
示し、その面積をQcm?とする。
n=5のとき,PとQをそれぞれaを用いて表しなさい。
図1
図2
図3
[問1] 次の①
と
2
に当てはまる式を,下のア~エのうちからそれぞれ選び,
記号で答えよ。
[先生が示した問間題]で,n=5のとき,PとQをそれぞれ』を用いて表すと,
P=| 0,Q=
2
となる。
25
a?
ア
2
イ 50g°
ウ 75g°
エ 100g°
1
25
a?
2
イ 25a°
ウ 50g°
2
ア
エ 75g°
Sさんのグループは,[先生が示した問題]をもとにして、正方形のタイルの内部に描いた
四角形を円に変え,正方形と描いた円で囲まれてできる部分の面積を求める問題を考えた。
[Sさんのグループが作った問題]
aを正の数,nを自然数とする。
右の図4のように,1辺の長さが2acm の正方形に,各辺に接する
円を描いたタイルがある。正方形と描いた円で囲まれてできる。
■で示された部分の面積について考える。
図4のタイルが縦と横にn枚ずつ正方形になるように,このタイル
を並べて敷き詰める。右の図5は,n=2の場合を表している。
図4のタイルを縦と横にn枚ずつ並べ敷き詰めてできる正方形で、
■で示される部分の面積をXcm?とする。
また,図4のタイルと同じ大きさのタイルを縦と横にn枚ずつ並べ
敷き詰めてできる正方形と同じ大きさの正方形で,各辺に接する円を
描いた別のタイルを考える。右の図6は,n=2の場合を表している。
図4と同様に,正方形と描いた円で囲まれてできる部分を■で示し、
その面積をYcm'とする。
図4のタイルが縦と横にn枚ずつ並ぶ正方形になるように,この
タイルを敷き詰めて,正方形と円で囲まれてできる部分の面積X,Yをそれぞれ考えるとき、
X=Yとなることを確かめてみよう。
図4
図5
図6
「問2)[Sさんのグループが作った問題]で,X,Yをそれぞれ a, nを用いた式で表し、
X=Yとなることを証明せよ。
ただし,円周率はπとする。
2
N
