4 直径1cmの円形のカードがたくさんあり、これらを図1のように,縦m枚,横n枚 (m,n
は3以上の整数) の長方形状に並べる。このとき、4つの角にあるカードの中心を結んでできる
図形は長方形である。 また, それぞれのカードには他のカードと接している枚数を書くことにす
る。例えば,m=3, n=4のときは図2のようになる。
次の会話文を読み, あとの(1)~(4)の問いに答えなさい。
EA
図1
会話文
m枚
図2
2 3 3 -2
SA 3 4
4
3
21m
2 3
3
29
n枚
教師 T:m, nの値と, カードに書かれた数の合計の関係について考えます。 まずは,
m=3, n=4のときについて確認してみましょう。
生徒X:m=3, n=4のときは,図2から, 2と書かれたカードが4枚,3と書かれた
カードが6枚,4と書かれたカードが2枚なので,カードに書かれた数の合計は
34 です。
教師T:では,m=4, n=5のときはどうですか。
生徒X:m=4, n=5のときのカードを並べたようすは右の
ようになります。 この図から, 2 と書かれたカード
2
が に 枚, 3 と書かれたカードが
ぬね 枚,
4と書かれたカードが6枚とわかるので, カードに書かれた数の合計は62 です。
教師 T:その通りです。 では,m=7, n=10のときはどうですか。
生徒 X:mやn の値が大きくなると, カードの枚数を数えるのが大変ですね。
生徒 Y : 何かきまりを見つけて,それを利用する方法を考えた方がよいのかな。 例えば, 3
と書かれたカードの位置に何かきまりはあるのだろうか。
生徒 X:3 と書かれたカードは,m, nがどんな値でも,一番外側の周上にしかなさそうだね。
同じように, 2, 4と書かれたカードの位置にもきまりがありそうな気がする。
教師 T:そうですね。 そのきまりがわかれば,m,nの値が大きくなっても, カードに書か
れた数の合計を計算できそうですね。
