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問題1 右の図に示した立体O-ABCD は,底面 ABCD が1辺の
長さが4、2 の正方形、OA=OB=OC=OD=8の正四角錐である。
次の各問いに答えなさい。
(1) 四角錐O-ABCD の側面積を求めなさい。
(2) 辺OCの中点をPとするとき、線分 APの長さを求めなさい。
(3) 立体O-ABCD の体積を求めなさい。
すい
A
B
(都立白鵬高改)
A解(1) 右の図のように、 Oから ABに垂線OHを引き,△OAH で三平
0
方の定理を用いると, OH3、8-(2、2)%3D214
よって、側面積=4、2×2、14×-×4332、7
32、7
>C
(2)線分 AP を含む△OAC を切り出して考える。
A
22 H
OA%3D0C=D8, AC3D4、2x、2=8 より,△OAC は正三角形となる。
PはOCの中点より、AAOPは30600の真負三負形となるので、
B
AP=30P=4、3
4
(3) 右の図のように,Oから底面に垂線 OI を下ろす
AA0C角から,
8
全OAIで三平方の定理を用いて, OI=\8°-4°3D4、3
C
128、3
4V2
よって,体積=(4v2)×4、3×-
128,3
3
4v2
B
3
問題2 右の図のようにすべての辺の長さが12cmの正四角錐
OABCD がある。次の問いに答えなさい。
(1) 正四角錐 OABCD の体積を求めなさい。
(2) 辺OB, OCの中点をそれぞれ M, Nとするとき, 四角形
AMND の面積を求めなさい。
B
(日本大豊山女子高)
0
A(1) 右の図のように, Oから底面に垂線 OHを下ろす。
解
12
AH=SAC=×12,2=6.2
C
40AHで三平方の定理を用いて、 OH3 12°-(6、2)%=6/2
288、2cm
H
12
A
12
B
よって,体積=12"x6、2× =288、2
(2) 右の図のように, 四角形AMND は等脚台形となる。
ここで, MA は1辺12の正三角形の高さとなるので、 MA=6,3
Mから AD に垂線 MIを下ろし,AMAIで三平方の定理を用いて,
M
N
6
Aに
D
MI= (6,3)-33、 99%3D3,11
12
27、11cm
よって、治形AMND=D(6+12)x3-11x-27 11, )
79
C
ジーーーー
