1. 偏りのない6面あるサイコロをn回投げる操作を考える.標本空間を
Q={w1,...,wn; Wi ∈ {1,2,3,4,5,6},1<i<n}
とする (上でwk はん回目の試行で出た目をあらわす) 部分集合 ACΩに対して, #A
で集合Aの個数をあらわすとする. このとき
はΩ上の確率となることを示せ .
#A
P(A) = 6n
2. 偏りのない4面あるダイスを1回投げる操作を考える.ここで標本空間を
Q={1,2,3,4} とし,その上の確率Pを事象ACΩに対して
P(A)=
=
#A
で定める.
(1) 事象 A = {1,2},B={2,3}, C'={1,3} に対して, A と B B と C およびCと
Aは互いに独立であることを示せ .
(2) 3つの事象 A,B,Cは独立でないことを示せ .
(3) どれもΩ ではない任意の3つの事象は独立にならないことを示せ(ヒント: 任
意のA'c Ωが取り得る値の集合と, それらの積であらわされる数の集合を比較せ
よ).
3. 関数 X を二項分布 B(n, 1/2) にしたがう確率変数とする.
(1) Xが値k ∈ {0,1,...,n} をとる確率P(X=k) の値が最大となるときのんの値
を求めよ.
(2) 上で求めた最大値をM(n) とするとき, limn→∞ M(n)=0となることを示せ .
関数 X をパラメータα>0の指数分布にしたがう確率変数とする.
(3) X が xo > 0 以下となる確率P(X ≤ xo) が 1/2となるとき, To の値を求めよ.
(4) x>0 に対して, limh+o P(x ≤X≤ x + h) の値を求めよ.
