2. トーラス T2 の位相幾何学的な性質をホモロジー群を用いて調べる. まず, トーラス T2 を1つ穴
あきトーラスŠと円板 ID2にカットする.
Š :=
このとき, カットラインをC: SOID2と表す。 以下の問に答えよ.
(1) D2の単体分割Pを1つ図示せよ.
(2) |Kp| = P を満たす単体的複体 Kp を求めよ。 ただし,単体的複体であることの確認は「単
体的複体」の定義を述べることで省略できるものとする.
(3) 単体的複体 Kp の1次元ホモロジー群H1 (Kp) を定義に沿って計算せよ.
(4) H1(S) を,同相変形とレトラクション, ホモロジー群の図形的意味を用いて求めよ.ただ
し, 同相変形とレトラクションがわかるように, 「パラパラ漫画」の要領で, コマ送りで図
を描くこと.また, 必要に応じて, 図に説明を付けよ.尚, レトラクションについては, S
の単体分割は十分細かく取ったと仮定し, “なめらかに”変形してよいものとする.
(5) カットラインCはH1 (S) 上の 1-cycle として0であることを (4) の図式を用いて説明せよ.
(6) 上記の問と Mayer-Vietoris の定理を用いて, トーラスT2の1次元ホモロジー群H1 (T2) を
計算せよ。 ただし、途中の計算式,並びに Mayer-Vietoris の定理をどのように適用したか
を省略せずに書くこと.
(7) トーラス T2の0次元ホモロジー群Ho (T2) を, ホモロジー群の図形的意味を用いて 求めよ.
(8) トーラスT2の2次元ホモロジー群H2 (T2) を, ホモロジー群の図形的意味を用いて求めよ.
(9) X(T2)=2-2g (T2)が成り立つことを結論付けよ.
(10) 2次元球面S2 := {( ,y,z)∈R3|z2+y^+22=1}とトーラス T2は同相ではない.その
理由を、上記の問いを含む幾何学6で学んだ内容を用いて詳しく論じよ.
