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例題3 (ケーリー・ハミルトンの定理)
次の行列について, 以下の問いに答えよ。
1) 14一厄| を
(2) を求めよ。
[胡 説| 次のケーリー・ハミルトンの定理を利用する。
4 の固有多項式を7//の とするとき, (4)=O
1-7 0 0
1 2-z 1
0 0 1-:
=テーの*(2一のテー一2⑦ー2の2 ……〔答〕
(2) ケーリー・ハミルトンの定理より, (4ーの*(4一2のめ=O
が=(に1一2の9(の二g(7一1)7十6⑦7ー)十ce ……(*) とおく。
(*) に7王1 を代入すると c=1, 7王2 を代入すると g十5十c王2
(*) の両辺を微分すると
2コー2(7一1D(7ー29(の圭一179(の0二⑦ー1)2⑦ー2)97(⑦の
十22(⑰ー1)十り
これに71 を代入すると, 5テ=ァ
よって, g三2"ーみ一1, 5三2 c三1 となり
*テ(ーーの9(の圭(2"ーター1)(⑦一1)7二(7ー1)十1
したがって, (4一の*(4 一2お) 0 に注意して
水三(2*ーターー1)(4一が?十z(4一ぢ)十ど
0 0 0Y 0 0 0 1 0 0
ee 1 りり 1 り 1 リり
0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0
(m | |王
0 0 1
解答] (1) |4一7/|=
