3| 曲面のパラメータ表示 p:U→ R3 (p € C®(U))を与え,座標曲面
S= p(U) を考える。また,曲線c = c(s) : I→ U (ce C®(I)) を考え,
7(s):= (po c)(s) :I→Sを測地線とする.このとき次の問に答えよ。
(1) (s) の速度ベクトルの大きさ ||(s)|| は,
dy
(S)|| = const for Vt EI
ds
を満たすことを示せ、ここで, const とは定数(constant) の略記号のことで
ある。
注:したがって,パラメータsは,?の孤長パラメータの定数倍となる。
(2) パラメータ変換s= £(t) (t € I)を行うと,曲線う(t):= 7(E(t)) は,あ
る関数 p(t) e C(1) が存在して、
霊 -
d的
()= A))or t eī
= p(t
(1t) for tei
dt2
を満たすことを示せ、ここで(…)"は,(…)のS接成分を表す。これを座
標曲面Sのパラメータ表示を用いた方程式で表すと,
d'ck
de
dek
-(t) = p(t).
dt
-(t)(k= 1,2) for tef
dt
dt?
dt
を満たすことと同値である。(式(1.1), (1.2) のどちらを示してもよい。)
