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Mathematics Undergraduate

大学数学、複素関数論、テータ関数に関する質問です。 写真のテータ関数の無限積表示(5.24)の式の1行目の形にどうやってしているのかと、命題5.22の(5.26)の証明を教えていただきたいです。

(b) テータ関数 ヤコビは楕円関数論の研究において, 次の級数を導入した。 9(2) = 22(-1)"-!g"-1/2)" sin(2n-1)Tu n=1 2(g/4 sin Tu-g/ sin 3Tu+q^/4 sin 5Tu-…). (5.23) 三 これはヤコビの楕円テータ関数(以下単にテータ関数(theta function))と呼 ばれるものの1つである. limd,(u)/2q'/4=Dsin Tu なので, 0,(u) は sin Tu 9→0 の一種の拡張と見ることができる。 伝統的な記号にならって, 以下 2ミe2miu a=2 q= eir, と書こう.gl<1だから Imr>0である. このとき(5.23)の右辺は TiT 2Tiu 9=e 9 2と(-1)"-1gm-1/2)?_2"-1/2 _2-n+1/2 =iこ(-1)"gm-1/2)°n-1/2 n=1 2i n=-00 = ig4z-1/2 (-1)"g"(n-1)z" n=-00 と書き直すことができる.右辺に3重積公式(5.22)を用いれば, テータ関数 の無限積表示が得られる: 0,(u) = iq'4z-1/2(1-2) II (1-g"2)(1-g"z-')(1-g") n=1. = 2q/4 sin Tu I (1-2g" cos 2Tu+g")(1-g"). 三 (5.24) n=1 命題5.22 0,(u) はuの整関数で 0,(-u) = ー6,(u). (5.25) 0 0(u) = 0 < (m,nEZ). 0,(u+1) = -0, (u), 9,(u+t) = -e-mi(r+2u)9, (u). (5.27) u= m+nT (5.26) 0 + 2u) [証明](5.25),(5.26) は(5.24)から簡単にわかる. また前節の無限積

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Physics Undergraduate

距離1mの2点では2π/λの位相差! ってところがわかりません... 教えていただきたいです!

ーx[rad]の位相差があるということ! だから, 図の式は も,t=T\s]での位相が2元に対応しているからなんですね。本全 写真y=y(x)から動く波を出すそ~! 実は“一点集中"の単振動の式もy=Asintでなくy=Asinotとしたの ここではもう1つのグラフ, "写真”y=y(x)からy(x, t)を導いておきま 先では一点注目(ギャル)の単振動y=y(t)から波の式を出しましたが、 @IMAGE おでな y A1 しょう。 まずt=0の波形を図のようにします。 先に一点集中から導いたのと同じ波形で A →X -A す。…つまり, 結果も同じになるはずです よ。 2元 これはy=y(x)の形です。 詳しく書くとy=ーAsinーxです。 え!? y=-Asinx じゃないかって~!?? 数学では横軸がx[rad]だったので sinx でOKなのですが, 今やっているのはyーxグラフ!…横軸は位直 x[m」です。図を見ると横軸方向の位置x=1 (波長)の場所は数字Cは 2元でしたね(この sin の中のを位相といいます)。つまりx=0, Aのと では2元の位相差がある!距離1[m] の2点では 2元 の位相差! 原点と 位置xの点では2元 -x [rad] の位相差があるということ! だから, 図の 2元 y=-Asinxとなるんです。 入 も, t=T\s]での位相が2元に対応しているからなんですね。 さあ,次はt秒後の波です。 y=y(x, t) を求めるのがターゲットですよ。 速さぃの 波はt秒後にvtだけ右に動いているハズで y す。 これ布

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