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基本 例題 107 多面体
正二十面体の各辺の中点を通る平面で, すべてのかどを切り
取ってできる多面体の面の数, 辺の数 e, 頂点の数をそ
れぞれ求めよ。
指針
面
/p.509 基本事項 2
このようなタイプの問題では,切り取られる面の形や面の数に注目する。
0000
まず、もとの正二十面体について、頂点の数, 辺の数を調べることから始める。
→
正多面体の辺の数
(1つの面の辺の数)×(面の数)÷2
問題の多面体の頂点の数 v, 辺の数 e, 面の数fの3つのうち, 2つがわかれば、残り
正多面体の頂点の数 (1つの面の頂点の数)×(面の数)÷(1つの頂点に集まる面の数
つはオイラーの多面体定理 v-e+f=2 から求められる。
なお、この定理は,下の CHART で示すように, e=v+f-2 の形の方が覚えやすい
CHART オイラーの多面体定理
解答る面の数は5である。
垂直線は
の面
e=v+f-2
帳
面
(辺の数)=(頂点の数)+(面の数)-2
基本
例題
1辺の長さ
図のように
等分点の
含む平面-
の頂点で
体の体積
指針
右はしの
に引け
解答
正二十面体は,各面が正三角形であり、1つの頂点に集ま問題の多面体は,次の図の
MAS
したがって,正二十面体の
体の
辺の数は
3×20÷2=30
色ということがある。
ようになる。この多面体を
二十面十二面体
よ
301
頂点の数は
は3×20÷5=12
......
①
次に、問題の多面体について考える。
正二十面体の1つのかどを切り取ると, 新しい面として正
五角形が1つできる。
①より,正五角形が12個できるから,この数だけ, 正二十
作
面体より面の数が増える。
したがって、面の数は f=20+12=32
辺の数は,正五角形が12個あるから①
e=5×12=60
18
=9
S
LOC
頂点の数は,オイラーの多面体定理から
正二十面体の各辺の中点
が,問題の多面体の頂点
になることに着目して、
頂点の数から先に求めて
よい。
v=60-32+2=30
面接
練習
② 108
