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重要 例題 77 第1次導関数を求める 2
f(x)=xe* とする。
(1) f'(x) を求めよ。
000
(2) 定数an, bn を用いて,f(n)(x)=(x2+anx+bn)ex (n=1,2,3,.......)
すとき,Qn+1, bn+1 をそれぞれan, bn を用いて表せ。
(3) f (m) (x) を求めよ。
指針
(2)f(m)(x)=(x2+ax+bneの両辺をxで微分する。得られた式と。
f(n+1)(x)=(x2+an+1x+bn+1) ex の係数をそれぞれ比較する。
[類 横浜赤
(3)(2) で得られた漸化式からan, bn の一般項を求め,f(n) (x)の式に代入する。
まず一般項an から求める。
(1) f(x)=2xex+x2ex=(x2+2x)ex
<f'(x)=x(x+2)
解答 (2) fm(x)=(x2+anx+bn)ex
① とする。
えとしてもよいが、
①の両辺をxで微分すると
見据えてこの形とした
{f(n)(x)}'
②
=(x2+ax+bnli
f(n+1)(x)=(2x+an)ex+(x2+anx+bn)ex
?
={x2+(an+2)x+an+bn}ex
また,①から
f(n+1)(x)=(x2+an+1x+bn+1)ex
(3
② ③の右辺の係数をそれぞれ比較して
an+1=an+2, bn+1=an+bn
+(x2+ax+ble
①のnをn+1におき
換える。
第
