基本例題 15 方程式 z"=1の解
極形式を用いて, 方程式2=1を解け。
指針> 次の手順で考えていくとよい。
① 解をz=r (cos0+isin0) [r0] とする。
②
方程式 z=1の左辺と右辺を極形式で表す。
3
両辺の絶対値と偏角を比較する。
④
の絶対値と偏角 0の値を求める。 0は00 <2mの範囲にあるものを書き上げる。
CHART 複素数の累乗にはド・モアブルの定理
解答
解をz=r(coso+isin0) [r>0] とすると
2°=r* (cos60+isin60)
1=cos0+isin 0
>0であるから r=1
よって
また
ゆえに
r(cos60+isin60) = cos0+isin 0
両辺の絶対値と偏角を比較すると
r=1, 60=2km (kは整数)
k
z=cosmentisin/2π
20= cos0+isin0=1,
*********
(cosO+isino)"=cosn0+isinn0
また 0= π
の範囲で考えると
k=0, 1, 2, 3, 4, 5
① で k=l(l=0,1,2,3,45) としたときのzをとすると
π
3
= COS
cos 2012 isin - 12/23 + i,
2
z2=cos2/23nisin 1/30 = 1/23 + 11 1
2
3
ニー
i,
2
したがって 求める解は
23= COSt+isinz=-1,
4
2.=cos x+isinx=-12-13 i
5
zs=cos/13x+isin/2/3=
5
1/2-11 i
2=±1, +1/+¹/3³;
z= ± 土
2
p.29 基本事項 [2] 重要 17,19
i
ド モアブルの定理。
1を極形式で表す。
x=1の両辺を極形式で表
した。
(検討
②-1=0から
(z+1)(z-1)(z^+z+1)
×(2²-z+1)=0
このように. 因数分解を利用
して解くこともできる。
なお,解を複素数平面上に図
示すると, 単位円に内接する
正六角形の頂点となっている。
また、Z=z」 が成り立つ。
→ p.36, 37 の参考事項も参
ya
23
