数Ⅲ 複素数平面 下の写真1枚目の問題についてです。1枚目の写真は、途中式が記されています。 この赤マーカーのところの変化は、どの公式を使っているのでしょうか？ 他2枚が、私の把握している公式です。 共役な複素数が等しいというのは、どういうことでしょうか？ 初歩的な質... Read More

a,b,c,dを実数とし, α = 0 とする。 虚数αが3次方程式 ax+bx+cx+d=0の解であ るとき も同じ方程式の解であることを証明せよ。 答え (証明) 「できた」 「できなかった」 を必ず選ぼう ステップ 1 ○できた ○できなかった αが解であることと、 等式の両辺の共役な複素数を考える ax³ + bx² + cx+d=0 ·(*) αが (*)の解であるから, x=α を代入して ax+ba²+ca+ d = 0 ・・・...① ①の両辺の共役な複素数を考えると,これらも等しいから、 aa³ + ba²+ca+d=0 ・② 株点 2 共役な複素数 OK? ...... ...... 採点1 αが解である条件 OK?

数Ⅲ 複素数平面 下の写真についてです。 例えばAなのですが、A（2＋i）となっていますが、A(2，1)でも良いのでしょうか？ 表記方法が多分よくわかってないです。 お願いします。

次の点を複素数平面上に記せ。 A(2+i), B(-3-4i), C(-1+2i), D(-3i), E(3)

複素数の問題です。 解答の6行目について、どうしてβ＝αバーとできるのですか？問題文のどこを見てβ＝αバーとしているのかを教えて下さい🙇🏻

5 関連発展問題 演習 例題 41 方程式の解と複素数平面 000 >1のとき、xの方程式 ax-2x+a=0 ①の2つの解をα, B とし,xの 方程式x^2-2ax+1=0 ②の2つの解をx, 8 とする。 A (ω), B (B), C(y), D (8) とするとき, 4点A, B, C, Dは1つの円周上にあることを証明せよ。 〔大阪大〕 指針 ① ② の判別式をそれぞれ Di, D2 とすると, α>1 から Di < 0, D20 となる。 よって,α, βは互いに共役な複素数であり, Y, は実数である。 よって,α, βは互いに共役な複素数であり, , 8 は実数である。 ゆえに,C,Dは実軸上にあり, 線分 CD の中点 M を表す複 r+8 2a 素数は 778-29-0 このことに注意して図をかくと右のようになり 2点A, B は実軸に関して対称である。 よって、 円の中心は実軸上にある と考えられ, 2点C, Dも実軸上にあるから線分 CDの中点Mが円の中心ではないか と予想できる。 そこで, MA=MB=MC=MD を示すことを目指す。 =a D(8) M 2 a B=a とすると,解と係数の関係から ata=202,a=140 よってMA²=|α-af²=(a-a)(a−a)=aa-a(a+α)+q² =1-a² + a²=a²³_1 a 解答 ① ② の判別式をそれぞれ D, D2 とすると, α>1から D1 4=(-1)-a*a=1-4°<0, 2=(-a)^-1・1=-1>0①は異なる2つの虚数解 ② は異なる2つの実数解 をもつ。 | ゆえに MA=√²-1 同様に MB=|-al=√²-1 また CD²=(-x)=(y+82-478=(2a)²-4・1=4(α²-1) よってCD=2√²-1 ゆえに MC=MD=√²-1 したがって, 4点 A, B, C, D は点 αを中心とする半径 ²-1の円周上にある。 A(a) 実軸 ; C(₂) B(8) ② において、 解と係数の関 係。 検討 ① ② を解いて が実数になる B-YB-8 a-ra-8 ことを示してもよい (前ペー ジの (*)を利用)。 4つとも10 ② において, 解と係数の関 係。 点M(α)が円の中心｡

マーカーの部分の計算が分からないので教えてください🙏🏻

重要 例題 36 複素数平面上の点列 右の図のように,複素数平面の原点をPとし,P。 か yA ら実軸の正の方向に1進んだ点をPとする。 次に,P｣を中心として 回転して向きを変え、1/2 √2 S 進んだ点を P2 とする。以下同様に,P, に到達した後, Po CHART O OLUTION また よって 点列の問題 ベクトルと結びつけて考える P(zn) とすると PoPi=21-20, ......, P9P10=210-29 また π 回転してから前回進んだ距離の倍進んで到達する点を Pn+1 とする。 199 このとき,点P10 が表す複素数を求めよ。 [日本女子大] から PoP₁0=PoP₁+P₁P2+······+P9P10 Pn+1Pn+2はPnPn+iを今回転して, 倍したものである √√2 Zn+2 - Zn+1= -√2(cos+isin)(2x+1-22) .... 4 4 JORDA COS 解答 を0以上の整数とし, 点Pを表す複素数をzn とすると PP1=z-zo, PiP2=z2-Z1, PP10=210-29 9 PoP10=PP1+PP+・・・・・・+PP10 Z10(Z1-20)+(z2-21)+..+ (210-29 ) 11/12 (cos Atisin)=a Fα とおくと Zn+2Zn+1=0(n+1-zn) √√2 ① から 210=1+α(21-0)+α(22-21)+......+α(29-28) (*) ...... 4 [(*)の計算について] なお, Zo=0 である。 α(zz-z)=α2 (2ュー20) =a²z₁ ① α(23-22)=a2(22-21) Pa+uPnt2はP,Pnti を今回転して 1/1/12 倍したものであるから, =a³(z₁-zo)=a³z₁ MO3043ABC Pn 21 =z₁+azı+a²z₁+······+a³z₁=(1+a+a²+ +α²) z₁ = 1-i DOO 32-i 32 π PU 4 1 π P₂8T1 787 Pn+2 π 24. 10 1-a¹ 1-a α(29-28)=α2 (28-27 ) ===α(21-20)=α°z1 5 P+1 ai- (カ) (cus (1×10)+/sin (+×10)-(12)(con/1+isin/-/1/2 1=(1/2)(cos 10= 5 COS COS πtisin よって 2106=(1-532)=(1-1+2)×2=32-i_2 •1= -(1+i)=- x -21 32 33+31i 32 59 1章 3 複素数と図形

共通テスト 試作問題 四角の部分のオがわかりません。 模範回答では6とあるのですが 私は5だと思います。 よろしくお願いします。

〔2〕 太郎さんと花子さんは, 複素数wを一つ決めて, w, w2, w3, …..によって 複素数平面上に表されるそれぞれの点 A1,A2,A3, …･･を表示させたときの様 子をコンピュータソフトを用いて観察している。 ただし, 点w は実軸より上に あるとする。つまり, wの偏角をargwとするとき, wキ0 かつ 0 < argw <π を満たすとする。 図1,図 2, 図 3 は, wの値を変えて点 A1, A2,A3, '.', A20 を表示させた ものである。 ただし, 観察しやすくするために, 図 1, 図 2, 図3の間では, 表示範囲を変えている。 図 1 0 図2 10 図3 太郎:wの値によって, A1からA20までの点の様子もずいぶんいろいろな パターンがあるね。 あれ, 図3は点が20個ないよ。 - 22- 花子 : ためしにA30 まで表示させても図3は変化しないね。 同じところを 何度も通っていくんだと思う。 太郎 : 図3に対して, A1, A2,A3, ･･・と線分で結んで点をたどってみる と図4のようになったよ。 なるほど, A1に戻ってきているね。 図 4 (数学ⅡI. 数学 B, 数学C第7問は次ページに続く。)

丸で囲った所が分かりません。上二重線部のZがわからないです。また、なぜ、等しくなるのか教えてください！ 予習していて全くわからないです。

■まとめ 複素数と共役複素数の関係[1] 複素数z=a+bi に対して z=a-bi, -2=-a-bi である。 複素数平面上で,z, z, z を表す 点を図示すると, 次のことがいえる。 点と点 点と点 ■注意 その共役複素数は²である。 すなわち, z=²である。 は実軸に関して対称である。 は原点に関して対称である。 -2=-a-bi z=a+bi z=a-bi

複素数平面に関する問題です。 (2-2)についてです。 直線が交わっているとき写真の黄色部分の角度は常に等しくなりますよね🧐 またB‘とBは直線lに関して対称な位置にあります。 なので点Qが線分OA上のどこにいようと<AQB＝<CQOが成り立つように思えます。 どうい... Read More

C 2 1 I ●10 対称点 原点を0とする複素数平面上に, 0 と異なる点A(α), および, 2点O, Aを通る直線がある . (1) 直線に関して点P(z) と対称な点をP'z') とするとき, '=が成り立つことを示せ . (2) α=3+iとする. β=2+4i, y=-8+7i を表す点をそれぞれB, C とおく. 点Bの直線Zに関して対称な点を B'(B') とする.β'を求めよ. 線分OA 上の点Q(w)について, ∠AQB=∠CQO が成り立つときのwを求めよ. (九工大工) (2-1) (2-2) 原点を通る直線に関する折り返し 実軸に関する対称点はすぐに分かる (バーをつけるだけ. zz)ので,実軸に重なるようにOを中心に回転さ せて考える. l (x軸を回転したもの) に関して対称な位置にあるP(z), P'(z') については, 0回転を表す複素数をwとすると, P, P'を回転した が実軸に関して対称であるから, ()= * Q ( ² ). Q ( ² ) 点Q w W ことができる. よって, w 解 答言 (1) arga=0 とおくと,P,Pを0のまわりに -0回転して得られる2点Q, や上図を参照. Q'は実軸に関して対称である. a=|a| (cos0+isin0) であるから, 0回転を表す複素数は、 39 z' 9 w :. z'=w. t= 2 w (2) (21)(1)により, B'= (22) B'とBは1に関して対称であるから, ∠AQB'=∠AQB=∠CQO = 3+i 3-i w- α, B, y, β' の具体的な値から、右図のようにな り 3点 B', Q, Cは同一直線上にある. よって, w=(1-s)β'+sy (sは実数) とおけ, w=(1-s) (4−2i) +s(-8+7i) w =2 a (2-4i)-4-2i a- =4-12s+(9s-2)i QはOA上にもあるから, w=ta=t(3+i) =3t+ti (tは実数) とおける.これらが等しいから, 4-12s=3t, 9s-2=t 10 4 :. S= .. w=t(3+i)= 13 12 4 ·+· 13 13 C(Y) i YA w a (=wとおく) |a| OF ととらえる B(B) a A(α) B'(B') Q(w) ← w YA P(z)/1 401 A*•P(z^) w 00 CL a 8¹(%) 10-10i 3-i =(1-i) (3+i)=4-2i (10-10i) (3+i) 10 OQ=(1-s) OB'+sOC 4-12s=3(9s-2)

【複素数平面】に関する問題です。 この問題では方程式が円であるための条件を考えるのですが、解説を読んでもよく分からないことがあります。 まず参考書では大体【|z−α|=r】が円であると説明されていてます。 自分の頭の中ではαは固定されていて、その【中心との差】がrである... Read More

8円･ (ア) 方程式zz +βz + Bz +1=0は,βが[ という条件を満たすとき,円を表す. (立教大・観光, コミュニティ福祉) (イ)|z-2i|l=|2z-i|を満たすぇの全体は複素数平面の中のどのような図形になるか調べなさい。 丸。 (ウ) 複素数zが等式|z-1|=2を満たすとき, 複素数 w=1+2iz を表す点 Q は, 複素数平面のど のような図形上にあるか. (東北芸術工科大) |z-a | の形にする |z-α|2=(z-α) (z-α)= (z-α) (z-a) = zz-az-az+aa と展開できるが,これを反対向きに使うことで, zz+Bz+B2 の形を | を用いた形に直せる. z-αの形にすることにこだわり過ぎない z=x+yi(x, y は実数) とおいて, x,yの関係式を 求める方法も忘れずに、計算量が少し増えたりするが, バーが出て来ないというメリットがある. 複素数の足し算、掛け算を操作と見る すでにこれについては述べているが, (ウ) のような問題に ついてもこのような見方をしよう.zに複素数の定数を掛けるのは回転。拡大に,複素数の定数を足す のは平行移動にあたる. 解答量 (ア) zz+B2+B2+1=0 (z+B) (z+B)-BB+1=0 (z+B) (z+B)=BB-1 .. ∴.|z+B|=|B|2-1 これが円を表す条件は, [B|2-1>0 ∴. |β|>1 (イ) z=x+yi (x, y は実数) とおくと, |z-2i|=|2z-iのとき, |x+(y-2)i|=|2x+(2y-1)i. 両辺を2乗して, .. x2+(y-2)=4.x2+ (2y-1) 2 ∴.3x²+3y²-3=0 したがって、x2+y2=1 となるから, zの全体は原点 0 を中心とする半径1の円 (単位円) である. .. 【別解】|z-2i|=|2z-iにより, z2i)(z2i) = (2z-i) (2z-i) zz +4=4zz+1 .. (z−2i)(z+2i)=(2z−i) (2z+i) ∴.|z|2=1 |z|=1 (ウ) zwの変換を図形的にとらえる. zz × (2i)zx(2i) + 1 (=ω)と考 えると, 点zを原点Oを y4 Y₁ .. 中心に90°回転して2倍 をして,さらに実軸方向 に1だけ平行移動して得 られる点がwである. |z-1|=2は点1を中心 とする円である. この円は,中心と半径に着目すると上図のように移される. よってQ(ω) は,中心 1+2i, 半径40円 | w-1-2i|=4上にある. YA 2 B 4 $2 O 2 0 1 C |z +B|2=|B|2-1が円を表すな ら左辺 | z + B12 は正の実数. ←la+bil=√a²+62 ■lz-2il=22-1/2により. |z|26|:|z-/|-2:1 であるから, アポロニウスの円の 知識 (13) を使って答えを確認 できる. [逆手流 (13) で解くと] w=1+2iz をzについて解い w-1 て, z= 2i |z -1|=2に代入して, w-1 -1=2 ∴. |w-1-2i|=2|2i|=4

紫のラインを引いたところが何故そうなるのかが分かりません。 どなたかご存知でしたら教えてください( . .)"

例題2 複素数平面上で00), A (1) とする。点z を直線OA に関して対称 移動した点をとするとき, wをz を用いて表せ。 「指針 解答 1+iの偏角を0とする。 点z を次の順で移動すればよい。 ① 原点を中心として -0だけ回転 (直線OA が実軸に重なる) (2) 実軸に関して対称移動 (共役な複素数をとる) (3) 原点を中心として0だけ回転 (直線OA がもとの位置に戻る) yA 1+iの偏角を0(0≦0 <2π) とすると 0=2 4 π a=cos +i +isin とすると,点z を原点を中心として 4 π だけ回転した点を表す複素数は 2 a 点2を実軸に関して対称移動した点を表す複素数は a ( π 4 a a 点wは,点 (2) を原点を中心としてだけ回転した点であるから a 10197 w-c)--(cos(4-(-4)+sin(4-(-4)=-= = a COS π π 0 14 1 w

複素数に関する質問です。 (1)についてですが、問題文から連立方程式をつくると普通にα、βの値が求まるのですが【複素数αβを求めよ】という聞かれ方に違和感があります🤔 βが1なので複素数というんでしょうか？

【理6】 複素数平面上の原点を中心とする半径1の円C上を動く点P(z)に対して,複素数 wを B w = az + .(α, βは複素数の定数) 2 により定めると, z=1のときw 3+√3i. のときw = ∙i, z = 2 2 た.このとき,次の問いに答えよ. (1) 複素数α, βを求めよ. 11 I √3 2 α = = =+ ² =² /_f²\/ (2) PC上を動くときに, 点Q (w) が描く軌跡を求め,図示せよ.また, 1/2となっ w-z cost + isint がぁの値によらずつねに実数となる定数t (0 ≦t <s) の値を求めよ. (3) 2点P(z), Q(w) を結ぶ線分PQが通過する範囲の面積Sを求めよ. (40点)