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Mathematics Senior High

この(2)の問題なんですが、2857000のとき、0は3つ並び、10の3乗になり、10は2かける5だから、5の素因数の数が答えになることはわかりました。でも、250のときは0の数は1つですが、5の素因数が3つ出てきます。必ずしも0の数が素因数5の数と一致するとは限らないと ... Read More

例題 (1)20! を計算した結果は2で何回割 含ま (2) 25! を計算すると,末尾には 0 が連続して何個並ぶか。 【類 法政大 基本112 指針 第1章でも学習したが, 1からnまでの自然数の積 1・2・3········(n-1)nanの 乗といい, n! で表す。 (1) 1×2×3×・・・・・ ×20の中に素因数2が何個含まれるか,ということがポイント。 2=3220であるから, 22 23 2′ の倍数の個数を考える。 (2) 25! に 10 が何個含まれるか,ということがわかればよい。 ここで,10=2×5であ るが、25! には素因数2の方が素因数5より多く含まれる。 したがって、末尾に並ぶ0の個数は,素因数5の個数に一致する。 素因数5の個数がポイント 17 最 3 CHART 末尾に連続して並ぶ 0 の個数 解答 (1)20! が2で割り切れる回数は, 20! を素因数分解したと きの素因数2の個数に一致する。 素因数2は2の倍数だけ THE がもつ。 1から20までの自然数のうち、 2の倍数の個数は 20 を2で 割った商で 10 24 6 8 10 12 14 16 18 20 2:0 ・・・10個 [2) 22 の倍数の個数は 20 22 で割った商で 5 22: 〇… 5個 23: 2個 23の倍数の個数は, 20 を 23 で割った商で 2 24: 1個 2 の倍数の個数は 20 を 24 で割った商で 2025 であるから, 2" (n≧5) の倍数はない。 注意 1からnまでの整数 のうち,kの倍数の個数は nkで割った商に等し い (nkは自然数)。 よって, 素因数2の個数は、全部で 10+5+2+1=18 (個) したがって, 20は2で18回割り切れる。 (2) 25! を計算したときの末尾に並ぶ0の個数は, 25! を 素因数分解したときの素因数5の個数に一致する。 1 から 25 までの自然数 1 から 25 までの自然数のうち 5の倍数の個数は255で割った商で 5 52 の倍数の個数は,2552で割った商で のうち2の倍数は12個 これと(*)から、指針 のの理由がわかる。 1 255であるから,5" (n≧3) の倍数はない。 よって、素因数5の個数は、全部で 5+1=6 (個) ****** (*) したがって, 末尾には0が6個連続して並ぶ。 (*)から、25=10%(は 全い整数)と 10の倍数でない される。 2

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140 方程式の整数解 (1) ・・・ 絞り込み1 00 2x+3y=33 を満たす自然数x, yの組をすべて求めよ。 [類 方程式 方程式x+y+z=10 を満たす自然数x, y, z の組の数を求めよ。 [法政大] このような不定方程式の自然数の解を求める問題で ・基本 135,136 が自然数 (正の整数)>0, ≧1 という条件を活かし、値を絞る。 (1)方程式から2x=3(11-y) xyは自然数であるから x0,y>0 2と3は互いに素であるから, 11-y は正の偶数で, yの値が絞られる。 (2) 係数が最大のyについて解き, x≧1, z≧1であることを利用すると 3y=10-(x+z)≦10-(1+1)=8 つまり 3y≦8→これからまずyの値を絞る。 CHART 方程式の自然数解 (1) 2x+3y=33 から 不等式にもち込み 値を絞る 2x=3(11-y) ...... ① xyは自然数,2と3は互いに素であるから, 11-yは 正の偶数で yの値はそれぞれ 11-y=2,4,6,8,10 y=9, 7, 5, 3,1 ②または②' を ① に代入してxの値を求めると (2) 13y=33-2x とすると, 絞り込みが面倒。 xの値は,②を ①に代 入するのが早い。 11-y=2(y=9) のとき 2x=3.2 11-y=4(y=7)のとき 2x=3.42 ②' (x, y)=(3, 9), (6, 7), (9, 5), (12, 3), (15, 1) 胴 ①で2と3は互いに素であるから,kを整数とすると 11 から, x=6 など。 x=3k>0, y=-2k+11>0 ・・・・・・ ・・・ A より 0<< 2 この範囲にある整数んは k=1,2,3,4,5 これをAに代入すると,上と同じ解が得られる。 1指針____: ★ の方針。 したがって 3y≤8 x≧1,z≧1であるから x+1+1 (2)x+3y+z=10 から 3y=10-(x+2)≦10-(1+1) yは自然数であるから y = 1, 2 [1] y=1のとき, x+z=7を満たす自然数x, z の組は (x, z)=(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1) [2]y=2のとき,x+z=4を満たす自然数x, zの組は (x, z)=(1, 3), (2, 2), (3, 1) 以上から、求める組の数は 6+3=9 よって 方程式 9x+4y= 50 を満たす自然数x, yの組をすべて求めよ。 (x+z)-(1+1) 向きが変わる。 なんで 向きが 変わるの ですか? | 方程式4x+2y+z=15 を満たす自然数x, y, zの組をすべて求めよ。 [(2) 京都産大] p.576 EX96、

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