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を解け､
(ア) 方程式 22=1+√3i
2
(東京電機大工, 東和大)
(イ) 複素数の偏角を120°で考える 2-1+iをみたすぇのうちで、偏角が最小のものの産
部と実部の比の値は
である.
(日大理工)
=a+bi の解き方
22=a+bi (a,b は実数) を解くには, z=x+yi(x, y は実数)とおいて
を計算し、各成分を比較すればよいが、場合によってはもっと効率のよい解き方がある。それはa+bi
を極形式で表すと、偏角が分かる場合で、次の場合と同様に処理するのがよい。
=a+bi(n≧3)の解き方
4 方程式 = αの解
左の形の方程式を解け。 という場合は,a+iを極形式で表すと, 偏
角が分かる場合と考えて構わないだろう.zをz=r (cos0+ isin0) と極形式で表して,ド･モアブルの
定理を使う、 なお,R>0, y'>0のとき, 次の に注意。
y' (cosf'+isin0')=R (cose+isina)
⇔r'=R かつ 0'=α+360°×k(kは整数)
解答
(ア) 右辺を極形式で表すと、
=1X (cos120°+ isin 120°)
= (coso+isin) (x>0°≦8 <360°...... ②) とおくと,
22=r² (cos20+ isin20 )
これが①に等しいから, 大きさと偏角を比較して、
最小の0は0=
②に注意して,r=1,0=60° 240°
よって、 z=cos60° + isin 60° cos240° + isin 240°
ここで, cos20=
sin 0
cos 6
-1+√3i
2
r2=1,20=120°+360°×(nは整数)
1 √3
2
(イ) 右辺を極形式で表すと, 1+i=√2 (cos135°+ isin 135°)
z=r(cos0+isine) (x>0,0°≦ <360°...... ②) とおくと,
26=y6 (cos60+isin60 )
これが①に等しいから, 偏角を比較して, 60=135°+360°×n (nは整数)
135°
6
22.5°であり,zの虚部と実部の比の値は,
1+cos20
2
1-cos 20
1+cos20
-i,
1 √3
2
sin ²0=
1-
1+
1-cos 20
2
1
√2
1
√√2
であるから,
sino
cos Q
①2=x+yi (x, yは
て解くと一
2²=1²-y²+2zyi
実部と虚部を比較して,
x²-y²=12, 2xy = 2
後者からをェで表して前者に
31
代入すると
とおい
16x+8㎡²-3=0
(4x²-1) (4x²+3)=0
/13
;; (I. y)=±(1/2).
12-1=(√2-1)^2=√2-10=22.5°により、
V v2 +1
2' 2
α: bの比の値はのこと
sin 8
cos 0
>0
