次の極限値を求めよ。
n+k
4
(1) lim
n-
指針>
n
n+k
1 2 ƒ ( 1²2 ) = S( f(x) dx
lim
n→∞ n k=1
m 1 2 ƒ( k ) = S'ƒ(x) dx ‡ † lim
n k=0
n
のように, 和の極限を定積分で表す。 その手順は次の通り。
① 与えられた和Sにおいて,をくくり出し, Sn=Tn
n
の形に変形する。
2 T”の第k項が f (n) の形になるような関数 f(x) を見
つける。
③3 定積分の形で表す。それには(または
ƒ(k) → ƒ(x),
dx と対応させる。
n
!!! (2) S=lim-2
n→∞nk=1
ここで,
解答
求める極限値をSとする。
(1) (+)¹-(+)²-¹(^+^) ³ - -/- (₁ + ^ ) *
n+k\3
=
n
n
=
1/n+k
n
nn
n+k\
n
*ot S-lim2 (+)¹-lim-¹(1+4)*
よって
n→∞k=1
n→∞nk=1
=f'(1+x)dx=[1/(1+x)-3/2
(R ² + 1)² ( 12+ + 2))
n
n
n
よってS=Sof-x+1
(2) lim E-
a
+
n→∞0 k=1 (k+n)² (k+2n)
p.406 基本事項 ①
=
a=-1,b=1,c=1
k
n
b
(x+1)(x+2)x+1 (x+1)^2+x+2 とすると
nº
(x+1)x+2
(x+1)(x+2)dx
+ x + 2 }dx
3
4
-[-log(x+1)=x+₁ +log(x+2)]
=1/12/2+10g 2014
+log-
[(1)琉球大,(2)岐阜大]
YA
0 12k-148111
So,
重要 246,247
M
f(x)
n n
y=f(x)
n
n
1
n
<f(x)=(1+x) /
n
→dx
[参考] 積分区間は, lim 20
n→∞k=1
の形なら すべて 0≦x≦1で
考えられる。
2-TAKS>
f(x)=
(x+1)^(x+2)
右辺の分数式は,左のよう
にして、部分分数に分解
する。 分母を払った
1=a(x+1)(x+2)
+b(x+2)+c(x+1)^
の両辺の係数が等しいとし
て得られる連立方程式を解
く。 または, x=-1,-2,0
など適当な値を代入しても
よい｡
L
求
