河文重
1 比例式
btc_cta
a+b
互いに異なる実数 α, b, c が,
a
b
を満たすとき,
C
対称
決め
(b+c)(c+a)(a+b)
abc
の値を求めよ. ただし, abc≠0 とする.
(立教大)
a+b
割
で習
解答
==
b+c c+a_a+b=kとおくと,
a
b
C
比例式は「=k」 とおく. 分母を払った
りしない
の
b+c=ak
…①
c+a=bk
対称性を生かして処理していく
a+b=ck
..③
①+②+③ より
実
2(a+b+c)=k(a+b+c)
(ア)a+b+c≠0のとき,④から,
・④
k=2と決めつけない!
2(a+b+c)
k=-
-=2
a+b+c
このとき,①,②、③は,
b+c=2a
5
a+b+c=0 であるから,④の両辺を a+b+c
で割って整理することができる.
a+b+c=0 の場合はこのような変形はでき
ないので、その場合を(イ)で考えている
c+a=26
(6)
a+b=2c
・⑦
となるが, ⑤⑥より,
k=2のとき, α, b, c が互いに異なる実数で
あるかの確認が必要である
b-a=2a-26
... a= b
これは, a, b, c が互いに異なることに反する。
(イ)a+b+c=0 のとき,b+c=-αであるから, ①より,
k=-
b+c===-1
a
a
abc≠0より、 「α≠ 0 かつ6≠0 かつc≠0]
である
このとき, ① ② ③より,
(b+c)(c+a)(a+b)_ak.bk.ck=k=1
abc
(ア)(イ)より,
(b+c)(c+a)(a+b)
abc
== -1
abc
解説講義
a+b+c=0を満たす互いに異なる実数α, 6,
cは必ず存在する (たとえば, α=1,6=2,
\c=-3) から, (ア)のような確認の作業は不
要である
