74/ 3次方程式の解と係数の関係
+x+1=0の解をα, β, y とする.
(1) a2+B2+y² の値を求めよ.
(2) α2,B2, y2を解にもつ3次方程式を1つ求めよ.
(解答
(1) x3+x+1=0の解がx=α, β, yであるから、 解と係数の関係より,
a+β+y=0, aß+βy+ya=1, aßy=-1
が成り立つ。これを用いると,
(2) a2, B2, y2を解にもつ3次方程式は,
a²+B2+y2=(a+β+y)²-2 (aB+By+ya)=0-2・1=-2
すなわち,
羊
(x−α²)(x−ß²)(x−y²)=0
ここで,
↓
12
a²+B2+y2=-2
x-(a²+B2+y2)x2+(a2B2+B2x2+y²a²)x-a²B2y²=0…①
T
=(aβ+βy+ya)2-2aßy(β+y+α)
(東京理科大)
a2B2+B2x2+y²d²=(aß+By+ya)²-2 (aB・By+By ・ya+ya・aβ)
=12-2・(-1)・0=1
Ⅱ式と証明
一
a²B2x²=(aBy)=(-1)²=1
よって, ① より 求める3次方程式の1つは、 =(a+b+c)^−2(ab+bc+ca)
x3+2x2+x-1=0
aβ=a, By=b, ya = cとすると,
a²B2+B2x²+y²a²
=a²+b²+c²
=(aβ+βy+ya)^2(aβ-By +βy ・ya+ya・aβ)
となる
