ユークリッドの互除法についてです。 aとb、bとcが互いに素になる理由が分からないので教えてほしいです。

ここで11242の最大公約数をg とすると, 112=ag, 42=bg (a, b は互いに素) と表せるので、 ①に代入すると, (a-26)g=28 よって, 28=cg と表せ, bとcは互いに素だから~~とから (この証明は背理法を用います。 gは42と28の最大公約数といえます。 ) この事実は一般的には,ポイントのように表すことができます. そこで,もう一度同じことをくりかえすとも! 42=28×1+14 より gは14と28の最大公約数といえます。 もう一度、くりかえすと 28142･･･0 余りが0になったときのわる数14 が最大公約数です. |28=14.2, 14=14.1

この漸化式の解法が理解できません(´・ω・｀) 2枚目の画像の方法でしかやったことがないので こっちの方法でできるならこの方法でやりたいです。 回答よろしくお願いします🙇🏻‍♀️⸒⸒

基本例 d =1 例 37m+= panta 00000 型の漸化式 an+1= an によって定められる数列{an) の一般項を求めよ。 [類 早稲田大] 基本 34 重要 46 \ 指針 Q+1= an panta ーのように、分子がan の項だけの分数形の漸化式の解法の手順は 漸化式の両辺の逆数をとると 2 1=bm とおくと 1 Gn+1 ·=p+- 9 an bn+1=p+qb bat1=ba+の形に帰着。 計 答 an 464 基本例題 34 と同様にして一般項 b が求められる。 また逆数を考えるために,(n≧1)であることを示しておく。 CHART 漸化式 an+1= am pantg 両辺の逆数をとる 469 An+1= an 4an-1 ①とする。 ①において, an+1=0とすると α = 0 であるから, α=0 となるnがあると仮定すると an-1=an2=......=α=0 ところがα= 1/2(0)であるから,これは矛盾。 4a-05 a-1=0 これから an-2=0 以後これを繰り返す。 漸化式と数列 5 よって、すべての自然数nについて α0である。 ①の両辺の逆数をとると 逆数をとるための十分条 件。 1 4 an+1 an 1 4a-1 A An+1 an 両 両法 法 1 _=bm とおくと bn+1=4-bn an これを変形すると bn+1-2=-(b-2) 計算 1 また b1-2= -2=5-2=3 や ai ゆえに、数列 {bm-2} は初項3, 公比-1の等比数列で n-1 bm-2=3(-1) すなわち bm=3(-1)"'+2 したがって an= 1 1 bn3.(-1)"'+2 特性方程式 α = 4-α から α=2 b= という式の形か 1 an 5 b=0 NC 国分数形の漸化式 α+1= rants (s0) の場合については, p.484, 485 の重要例題 46, pantg 47で扱っている。 37 = 1, an+1= 3an 6an+1 によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 C:-1 buii+1=3(bit1)

「PならばQである」という文章が真ならば、PはQであるための十分条件か必要十分条件になりますか？🙇🏻‍♀️

この問題の（2 でなぜ選択肢2が成り立つのか分かりません。照明があるのですがらあまりによって何がわかり、どうして矛盾するのでしょうか、、？、 解説お願いします🙏

例題太郎さんと花子さんは次の証明問題について話している。 二人の会話を読んで下の 問いに答えよ。 問題 直角三角形の斜辺の長さが自然数c, その他の2辺の長さが自然数 a, b であるとき, a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数であることを証明せよ。 花子:直角三角形の3辺の長さといえば,三平方の定理だね。 斜辺の長さが c, そ A の他の2辺の長さがそれぞれα, bだから問題は「自然数 α,b,c が a2+b2=c2 を満たすとき, a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数である」 という性質を証明することだね。 C b B a 太郎:こんな性質があったなんて知らなかったよ。本当に成り立つのかな。 花子: 例えば, a=3, b=4,c=5のときは,cが5の倍数になっているね。 太郎: 他にアのときもこの性質が成り立つよ! どうやらこの性質は成り立つようだね。 じゃ あ、どうやって証明すればいいだろう。 5の倍数であることを証明するから, mを自然数と してα=5mとおいて考えればいいかな。 花子: それだと,その後どうすればいいかわからないよ。こういうときは,授業で習った 「背理法」 を使えばいいんじゃない? 太郎 : 「命題が成り立たないと仮定して, 矛盾を導く」という証明方法だったから,「 A a,b, chi B を満たし,C」と仮定すればいいね。 (1) アに当てはまる最も適当なものを,次の①~③のうちから一つ選べ。 ⑩a=1,6=2,c=√5 ① a=1,6=2,c=3 ② a=8,615,c=17 ③ a=13,6=12,c=5 (2) A B C に当てはまる組み合わせとして最も適当なものを、次の①~③のうちか ら一つ選べ。 イ A B 2+b2=c ⑩ 自然数 ① 自然数 2 ② 自然数 C 自然数 ' +62≠c2 ③無理数 a² +b² c² ²+62=c a2+b2=c a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数でない a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数である a, b, c のいずれも5の倍数でない a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数である 数学- 10

このアの問題で、選択肢0が成り立たない理由はなんでしょうか、？ 2ページのように考えたのですがどこが間違ってるのか分かりません、、 解説お願いします🙏

問いに答えよ。 問題 直角三角形の斜辺の長さが自然数c, その他の2辺の長さが自然数a, bであるとき α b,cのうち少なくとも1つは5の倍数であることを証明せよ。 花子: 直角三角形の3辺の長さといえば、三平方の定理だね。 斜辺の長さがc, そ の他の2辺の長さがそれぞれ a, b だから、問題は「自然数a, b, c が a+b2=cを満たすとき, a, b, c のうち少なくとも1つは5の倍数である」 という性質を証明することだね。 太郎:こんな性質があったなんて知らなかったよ。 本当に成り立つのかな。 花子: 例えば, a=3,b=4,c=5のときは,cが5の倍数になっているね。 B a C 太郎: 他にア のときもこの性質が成り立つよ! どうやら、この性質は成り立つようだね。じゃ あ、どうやって証明すればいいだろう。 5の倍数であることを証明するから,mを自然数と してα=5m とおいて考えればいいかな。・ 老子: それだと,その後どうすればいいかわからないよ。 こういうときは,授業で習った 「背理法」 を使えばいいんじゃない? 二郎: 「命題が成り立たないと仮定して, 矛盾を導く」という証明方法だったから,「A cが B を満たし,C」と仮定すればいいね。 ア に当てはまる最も適当なものを,次の①~③のうちから一つ選べ。 ⑩ a=1,6=2,c=√5 a=8,6=15,c=17 ① a=1,6=2,c=3 ③ a=13,6=12,c=5 ② A B C に当てはまる組み△ a,b,

高一数学です。 背理法がよくわかりません。背理法の私の解釈は命題が成り立たないということをを証明したら成り立たないだから命題が成り立つね、みたいな感じなんですけどこの二つの問題ってどっちも無理数ってことを証明したいから有理数と仮定して証明した時に有理数になりました。無理数っ... Read More

80 基本 例題 44 背理法による証明 00000 (1)α 6 有理数で, 6=0 とする。 √2 が無理数であることを用いて, la+b√2 が無理数であることを証明せよ。 (2)6が無理数であることを用いて、√2+√3 が無理数であることを証 明せよ。 CHART & SOLUTION 証明の問題 直接がだめなら間接で背理法 与えられた仮定から直接結論へ導くことが困難なときは, 背理法が有効。 背理法で証明する手順 1 仮定はそのままにして (1) では,「√2が無理数である」), ① p.76 基本事項 71 結論を否定する (1) では, 「a+b√2 は無理数でない」とする)。 5058 2 計算や推論により、矛盾を導く。 (1)では,√2 が有理数の和・差積商の形で表されてしまうという矛盾を導く。 なお,実数は有理数と無理数に分けられるから、無理数であることを否定すると有理数にな る。 解答 (1)a+b√2 が無理数でないと仮定すると,a+b√2 は有理 数である。 a+b√2 =c (cは有理数) とおくと, 6≠0 から √2= c-a b a,b,cは有理数であるから, c-a も有理数となり b √2 が無理数であることに矛盾する。 ゆえに,a+b√2 は無理数である。 (2)√2+√3 が無理数でないと仮定すると,√2+√3 は 有理数である。 √2+√3=r(rは有理数)とおいて,両 辺を2乗すると 5+2√6 = 2 AB=BC 変形して √6=12-5 BC 2 rは有理数であるから, 2-5 2 有理数となり√6 が無 理数であることに矛盾する。=9U9 ゆえに、√2+√3 は無理数である。 inf. 有理数の和・・ ・商は常に有理数 (p.41) であるが, 無理数の和・ 差・積・商は無理数とは限 らない。 例えば, (1+√2)+(1-√2)=2 (2+√2)-(1+√2)=1 (1+√2)×(1-√2)=-1 3√2-√2=3 など。 9 6 を導き出すために 両辺を2乗する。

この問題の(1)で、√3が無理数であることに矛盾すると分かったら、どのようにして、b=dだとわかりますか？ b-dは0になり、有理数なので、結局無理数の√3とは合わないのでは？と思いました。 また、(2)番で連立方程式を作るとき、連立方程式の1行目の3と2行目の5はどこから... Read More

矛盾する. 2p よって、 3+2√5 は無理数である。 q−3p は有理数 2p 106 a,b,c,d が有理数のとき、 次の問いに答えよ. ただし,√3が無理数であることを用い てもよい。 (1) a+b√3=c+d√3 ならば a=c かつ b = d であることを背理法を用いて証明せ (2)a(√3-1)-b(3+√3)=3+53 を満たす α, bの値を求めよ. (1) bed と仮定する。 a+b√3=c+d√3 より (b-d)√3=c-a b-d0 より b-d ここで,a,b,c,dは有理数よりも有理数と b-d なるが、このことは、3が無理数であることに矛盾する. したがって、 b = d である. これを a+b√3 =c+d√3 に代入すると, a=c よって, a, b, c, d が有理数のとき.

数学の整数問題です。 (3)についてなのですが、背理法と合同式を用いて、｢a^2≡1,4,9(mod16) b^2≡1,4,9(mod16)のいずれかだが、どの組み合わせも(a^2+b^2)≡0,1,4,9(mod16)にはならず、これはc^2≡0,1,4,9となることに矛... Read More

[23] どの2つも互いに素である自然数a,b,c について, 2 + b2 = c2が成り立つとき (1) cは奇数であることを示せ。 (2)aとbの一方は3の倍数であることを示せ。 (3)aとbの一方は4の倍数であることを示せ。

わかりやすく解説して欲しいです！お願いします🙇‍♀️

116 背理法を利用して、次のことを証明せよ。ただし,a>0 とする。 ✓ (1) αが無理数ならばαは無理数である。 (2)√6が無理数ならば√3-√2は無理数である。 *117 (1) は整数とする。 次の命題を証明せよ。 nが3の倍数ならば, nは3の倍数である。 (2) 背理法を利用して, √3が無理数であることを証明せよ。 教 p.79 研究

数学の証明の対偶法と背理法、また、そのまま証明する問題の見分け方、使い分け方を教えてくださいいい！！