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数を一定の規則によって並べたものを扱う問題は,キリのいい形に着目し、解決
正方形の縦横をそれぞれn等分して, n?個の小正方形を作り,小正方
形のそれぞれに1からn'までの数を右図のように順に記入してゆく。
jSn, kSnとして,次の 口にあてはまる数または式を答えよ。
(1)1番上の行の左からん番目にある数はア」.
(2)上から」番目の行の左端にある数は[イ].
(3)上から」番目の行の,左からん番目にある数は,
1Sks[ウ]のときエ], ウ」<k<nのときオ].
(4) 上から」番目の行のn個の数の和から最上行のn個の数の和を引くと、
1
7 数表
4
9
2
3
8
15
5
6
7
14
13
カ」となる。
(京都楽大)
キリのいい形で
の糸口をつかもう。上の例で言えば,正方形に着目する。
j番目の行の左側からん番目にある数を(, k)とする. 例えば, (2, 3)=8
(1)(1, k)は図1の正方形に入っている最後の数で, ア=(1, k)=k?
(2)1つ手前は(1, j-1)だから, イ=(j, 1)=(1, j-1)+1=(j-1)?+1
)(3) 図2, 図3より, ウ=j
図2より,1SkSjのとき, (;, k)=(5, 1)+k-1=(j-1)?+k(=Dエ)
図3より,jくんnのとき, (j, k)=(1, k)-(j-1)=k°-j+1(=オ)
(4) [引いてから和をとる方が少しラク](1), (3)より, (j, k)-(1, k)は,
(i) 1Sksjのとき, エーア=(jー1)?+k-k?
(i)j+1<k<nのとき, オーア=ーj+1
よって,求める「和の差」は,
図1
解答
図2
kj-1j~り
1
1
(i-1)
図3
n-jコ
2{(テー1)+&-k?}+. (-j+1) [mm=(-j+1)+…+(-j+1)]
k=1
k=j+1
=j(j-1)2-2&(k-1)+(n-j)(-j+1).
1)
k=1
ここで(右下の傍注), k(k-1)={(k+1)k(k-1)-k(k-1)(k-2)}-3 [☆について]
4=k(k-1)に対して,
bょ=k(k-1)(k-2)=3と
ると,as=ba+1-baが成り
[(&+1)-(&-2)=3に注意] より, 宮&(k-1)=(i+1)j(j-1) ☆
k=1
0=j(j-1)--(+1)j(j-1)+(n-j) (ーj+1)
3
○5と同様に計算できる。
nが入っていない部分は
j(j-1)でくくれるこ
とに注意して計算
11
=(1-3)n+(3-1) (2j-1)
2= 2(b+1-b。)=Dbp
k=1
k=1
=bj+1
.07 演習題(解答は p.74)
古図のように自然数を配置したとき, 1の右に並んでい
数の列を{an}とする. たとえば, 初めの3項は, a=2,
1 37 36 35 3433 32 31 ↑
11, as=28 である。
! 38 17
ヨ …*。
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