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演習 例題186 指数方程式の有理数解
(1) 3*=5 を満たす xは無理数であることを示せ。
(②2) 35-2y=53-6 を満たす有理数x,yを求めよ。
m
(m,nは整数,n≠0) と表される数を有理数といい, 有理数でない
n
指針 実数において,
ものを無理数 という｡
(1) 無理数であることの証明では, 有理数であると仮定して, 矛盾を導く (背理法)。
(2) 方程式1つに変数がx,yの2つ。 有理数という条件で解くから, (1) が利用できそう。
底が3,5であるから, 3' =5 [(1)] の形にはならないことを用いる。
解答
(1) 3=5を満たすxはただ1つ存在する。
そのxが有理数であると仮定すると, 3*=5>1 であるから
m
CHART 無理数であることの証明 (有理数) とおいて、 (1)
n
背理法
事柄が成り立たないと仮定し
て矛盾を導き, それによって
m
x>0で,x=- (m,n は正の整数)と表される。 =(a+事柄が成り立つとする証明法
(数学Ⅰ)。
n
m
37=5
よって
両辺をn乗すると
3m=5n
①
ここで,①の左辺は3の倍数であり,右辺は3の倍数ではな
いから,矛盾。
よって, xは有理数ではないから、無理数である。…
3x-y+6=5x+2y
(2)等式から
2) spol
x+2y=0 と仮定すると, ② から
x-y+6
3x+2y = 5
練習
③ 186
x,yを有理数とすると, x-y+6, x+2y はともに有理数で
x-y+6
x+2y
......
ゆえに
このとき, ② から
よって
x-y+6=0
④,⑤を連立して解くと
も有理数となり, (1) により③は成り立たない
Gram
x+2y=0
000
3x-y+6=1
基本 167
x=-4, y=2
等式 20x10y+1 を満たす有理数x,yを求めよ。
3と5は1以外の公約数を
もたない。 このとき,3と
5は互いに素 という。
3÷36=5÷5-2y
3x-(y-6)=5x-(-2y)
②から3-y+6)x+2y
X
= (5x+2y)x+2y
(1) で3'=5を満たすは
無理数であることを証明し
ている。
KH
④: x+2y=0 と仮定して,
矛盾が生じたから,
x+2y=0 である。｣<
40 T810
Op.294 EX120
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