らない
AB(両端を除く)の上の格子点(x座標, y座標がともに整数である
考え方(1).まず,ただ1つ通る有理点を考える。ここでは原点を通る直線として考える.
点)の個数は, a, bの最大公約数をcとすると,(c-1)個であること
(2) a, bを異なる自然数とするとき,2点A(a, 0), B(0, b) を結ぶ
を示せ。
まらな
(2) 線分 AB の方程式を考え,それと a, bの最大公約数cを考える
解答(1) y=/3x (有理点(0, 0) のみ通る)
(証明)(0, 0) 以外の有理点(xo, yo) (xoキ0) を通
Jo=V3x。
背理法で示す。
るとすると、
このとき,/3=o
となり,V3 が有理
X0, oが有理数より。
Xo
yoは有理数
数となるので矛盾する。
Xo
よって,(0, 0) 以外の有理点を通らない。
(2) 線分 AB の方程式は,
X+メ=1(x>0, y>0)
b
線分なので,x, yの
囲に注意する。
a
a, bの最大公約数はcであるから,
a=ca'
(a', b'は互いに素な自然数)
B(0, 6)
b=cb'
とおける。これを AB の方程式に代入して,
A(q.0)
0 +=1 …① より,
ca'
CBミ
b'x
+y=cb'
a'
6'x
a'
TOF1
分数のところに着目す
右辺は整数,yは整数より,
も整数で,a'と
心がは互いに素より,xはα' の倍数、すなわち,
間ラはうx=ka' (kは自然数)+8+-
る。
+S+=
0r とおける。同様に,y=lb' (eは自然数)とおける。
これらを①に代入すると,
R+=1 より、k+l=c……②
k
e
C
C
のを満たす自然数の組(k, 0)は,
よって, 題意を満たす格子点の個数は,(c-1)個
である。
注》(2)の結果よh
