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例題186 一定の順序を含む順列(2)
5桁の整数 N =α × 10' + 6×10°+c×102+d×10+e
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次の条件を満たすものは何通りあるか。(各位の数は0以上9以下の軽
数, α≠0 とする.)
(1)a>b>c>d>e
(3) a<b<c, c>d>e
考え方 与えられた条件から,
解答
(2) a≥b≥c≥dze
「0から9の10個の数から5個を選んで5桁の整数をつくる」
という問題であることがわかる.
10個の数から5個を選んで並べるのであれば, 順列の考えを用いればよいが、 ここで
は、選んだ後は条件を満たすように並べるので,並べ方は1通りに決まる。 つまり
個の数字を選ぶことを考えればよい.
(1)86542 のように各位の数が徐々に小さくなる場合である.
(2)なので,重複を許して(たとえば, 8, 6, 64, 2などでもよい) 選べばよい。
(3)まずは,一番大きい数が入るCを考える。
(1)0, 1, 2, 3, … 9の10個の数から異なる5個を選ん
で,大きい順に a, b, c, d, e とすればよい.
このとき, α≠0 は成り立つ.
10.9.8.7.6
5･4･3･2･1
=252 (通り)
よって, 10C5=
(2) 0, 1, 2, 3, 9 の 10 個から重複を許して5個を選
んで大きい順にa, b, c, d e とすればよい. ただし,
このうち 0, 0, 000のみ a=0 となり不適である。
よって, 14C5-1=2002-1=2001 (通り)
(3) a≧1より,c≧3 である.
c=3 のとき,e,dは0, 1, 2から2つ選んで小さい
順にe, dとし, baは1,2から2つ選んで, 小さい
順に a, b とすればよいので,
3C2 ×2C2 (通り)
c=4,5,6,7,8,9のときも同様にすればよい.
よって,
3C2 2C2+4C2*3C2+5C24C2+6C25C2+7C2・6C2
αは他の位の数より
大きいので
となる.
5個の○と9個の1
の並べ方より,
145 通り
α = 0 となるのは、
すべての位の数が
となる場合である。
a=0 h, a≥1
a≠0のため,a, b
はdeより選べる
数が1つ少ない.
+8C2・7C2+9C2・8C2
=3・1+6・3+10・6+15・10 + 21・15+28・21+361?1
=2142(通り)
