121 回転体の体
媒介変数を用いて, x=sin0, y=sin200≦
(0≤0≤7)
と表される曲
線Cについて 次の問いに答えよ.
(1) Cの概形をかけ.
(2)
Coy≧0 の部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積
Vを求めよ.
精講
(1) 媒介変数 0 を用いて x, yが表されていますが,64 によれ
ば「y=(xの式)」の形にできるのであれば, 媒介変数のまま微
する必要はありません。
(2)関数が媒介変数を用いて表されていても,x軸まわりの回転体の体積の
式は1つしかありません.
すなわちπfydxです。
解答
(1)y=2sincose において, sin0=x とおくと
cos0=√1-sin20=√1-2
y=2x√1-x2 (0≦x≦1)
0≦x<1のとき
(cosO≧0 より)
y' =2√1−x²+2x • ½-½ (1−x²)-(-2x)
=21
y'=0 を解くと
x2
2(1-2x2)
√√1-x2
x=1/12 (0≦x<1より)
-
IC
y" =2..
=-
2x(2x²-3)
(1-x²)√1-x²
1-x2
≤0
√1-
82(1)参照