13 放物線 C:y=xを考える。 a < b を満たす定数a, b に対して, x座標がα, bであるC上の点
をそれぞれA,Bとする。 a<<bを満たす実数に対して, x座標がであるC上の点をPと
する。 三角形 ABP の面積を最大にするの値と,そのときの面積を求めよ。
( 信州大)
A(a, a²), B(b, b²),
直線AB の傾きは
b²-a²
b-a
C
= a+b
Q(p,(a+b)p-ab)」
直線AB の方程式は, y切片をcとして
B(b, b²)
a = 6 より,傾きを求め
る。
y=(a+b)x+c
これが,点A(a, α) を通るから
A(a, a²)
a = (a+b)a+c
これより
c = -ab
P(p, p²)
よって, 直線AB の方程式は
y=(a+b)x-ab
・①
点P(p, p2) を通り, y 軸に平行な直線と線分AB との交点を Q とする
と、点Qのy座標は ① より (a+b) p-ab
よって PQ=(a+b)p-ab-p²
三角形 ABP の面積をSとすると
S = 1/4 PQ. (b-a)
=
2
2
{(a+b)p-ab-p}(b-α)
△APQ=1/2PQ(-a),
ABPQ = PQ(b-b)
である。
=
+b\
2
+
2
a+b
a<
<bより,
2
したがって,三角形 ABPの面積は
a+b
p=
は条件を満た
a+b
p =
のとき 最大値
b-a
3
2
2
す。
