FE m 113 前MP
(1) 0くgxく3 を証明せよ。
3) 数列(G』j の極限値を求めよ。
指針
はさみうちの原理 すべてのヵ について 一gzミ@。 のとき
limヵlimg。ニッならば Himoz王w
かっ つの
なお, 次ページの補足事項も参照。
(ik【4基 求めにくい極限 不等式利用で
スケ171 呈本 。
、 (1) すべての自然数 についての成立を示す 一数学的帰納法 の利用
2) (0) の結果すなわち g>0, 3>0 であることを利用。 只
(3 河化式を変形して一般項 g。をヵの式で表すのは難しい。 そこで, の<.
式を利用し、はさみうちの原理 を使って数列 (3一:} の極限を求める。
はさみうち
淫
和
0 0<gaく3 …… ① とする。
1] ヵー1 のとき, 与えられた条件から ① は成り立つ。
[2] zヵ一4のとき, ① が成り立つと仮定すると 0<く<3
ァ三を士1 のときを考えると, 0く24く3 であるから
のx+mー1二71十Z。 >2>0
のmpニ1オア] く1+ /1二8 3
したがって 請0<28二9
よっでの) ん1 のときにも ① は成り立つ。
喘, [2] から, すべての自然数み々について ①⑪ は成り立つ。
ブラ 提 の の
(2 3一の=2ー 7ロイ = 還 1 <くす⑬-ey)
なこす
0<3-gs(二) 6-の
jim( 3 ) 3-ge0 であるから
jm(3Z。)=0
カマ
jm =3
カーの
⑬ 0⑰) (2) から
したがって
の三2。 人2 のとき選= 8
2 7 20=滞
(1) すべての自然郊記に王王証
113
邊
2 を滴たす数列 (Z。) について
数学的帰納法による
0くく3
40<みから 71Tム1
る24く3から 1+ので
gsュー3
lg。一3|
3-4。>0であり. 2F
ら 2+ア1+gx 23
すき2 のとき、 ⑬か5
9くすG-w-り
<ere
