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CHECK3
両性の公式の証明
絶対暗記問題 26
吉線!:ax+by+c=0と,1上にない点 P(x1, yi)がある。点Pから直
線1に下した垂線の足をH(x2, y2) とおくとき, 線分 PH の長さを求め
kは定数)
難易度
CHECK1
CHECK2
CHECK3
めよ。
よ。ただし、aキ0かつbキ0 とする。
よ。
レント!)点と直線との間の距離h(3DPH) を求める公式の証明間題だね。1
レ PHが直交するので, それぞれの傾きの積が一1となることがポイントだ。
を出すんだ
も通るように
解答&解説
直線1:ax+by+c=0 ……①
直線!:
P(x1, yi)
に対して,I上にない点P(x1, yi)
ax+by+c=0
から1に下した垂線の足を
1のとき
H(x2, yz)とおくと, Hは1上の点より,
H
(x, ya)
axz+byz+c=0 …
② (①より)
また,1の傾きは,-4
a
b
(答)
垂線 PH の傾きは
y2-Y1であり,11 PHより-
y2ーyェー -1
X2-X1
X2-X1
X2-X1-
y2-y1
こは,点A(1,1
のことだ!
ここで,3=kとおくと,
a
b
xュ=ak+xi
X2-1-kより,x2=ak+xi
a
yュ= bk+yi
のとのを2に代入して, まとめると,
…の
y2も同様
=のとき,
ーx+y-2=0
(a+b)k = - (ax」+byi+c)
a(ak+x)+6(bk+yi)+c=0
ax」+byi+c
a'+b
の両辺を2倍し
.. k=-
Ti Ji
, 0)と直線
b
以上より,PH°= (x2-xi)?+(y2-y)?を求めると、
(k°(6より))
ak(④より)
(bk(④より)
k+1)y
誰hは,公式
tby, +cl ;
Va'+b
PH?=a'k?+b°k?= (α'+b°)ぴ=[a^+b) · (-1
(axi+byi+c)?
(ax」+byi+c)?_ lax,+byi+c|
a'+b?
fv=lal)
となる。
(答)
.. PH =
Va+b
(答)
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