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一末問題
にして,
bc
となり、
ab
bc
b-a
-loga
+
a
c-b
21, √ab+√bc +√ca=1
ca
blogs√be ac
c-b
log c
-log+a-c
syab+√bc+vcaD
ここで、a++√c=1 の両辺を2乗すると,
a+b+c+2,/ab+2、bc +2√ca =1
vca
> 0 ) (x
第4
.d
<rg^(x)=f(x)-1≦1-1<0
0-7(x)
ca
a
log
C
であるから,g(x)は単調減少な関数である。
ここで,g(0),g(1) を考えると
|g(0)=f(0)-0
1
1+e=20
==
1
|g(1)=f(1)-1=
1-(a+b+c) 15. J
1+e e+1-1=<0
したがって,g(x)=0 は 0<x<1にただ1つの解を
e
e+1
もつ。
2
八
また、√a++√c=1のとき、(2)より,0x
よって、f(x)=xはただ1つの実数解をもつ
(3)(2)において
yA
y=x/
loga
f(x)=x を満たす
a+b+c......
laga Co
01 1=x+p+00
ただ1つの解をβと
おくと, 0<β<1で
あり
y=f(x)
2)(am, f(an))
f(x)は
0
1-
f(B)=BD
an
an+1 8 1
x
3
1
②.③より√ab+√bc+√cas
2
a+b+czy,
よって、 ① より,
b-a
a
c-b
ab logb+ be log+c logs
bc C ca
+p+
(1-(a+b+c) ≤1-1
33
b
a-c
4
関数f(x)=- について、次の問いに答えよ.hpps-fe
また、条件より
f(am)=an+1 ......②
①②の辺々の差の絶対値をとると
f(am)-f(B)1=lan+183
ここで, an≠β のとき, f(x) に平均値の定理を用い
ると,
したがっf(am)-f(β)
-=f'(c) ••••••④
うになる
an-β
(021)
を満たすc が a と β の間に存在する.
④を変形して,
Tx+
1
1+e
(1) 導関数f'(x) の最大値を求めよ.
(2) 方程式 f(x)=x はただ1つの実数解をもつことを示せ.)+(-6)
(3) 漸化式 an+1=f(a.) (n=1, 2, 3, ...) で与えられる数列{an} は,初項 α の値によら
ず収束し, その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ.
(1) f'(x)=1+e^*)
(1+e_x)1+2+e_25
1
1
*+2+*
e*+. ++2
e₁
(23)
\f(am)-f(β)\=lf'(c)lla-Bl
③を用いると,
an+1-Bl=\f'(c)lla-β.......⑤
つまり, ⑤を満たすcが, am とβの間に存在する.
(1)より.0<f(x)=1であるので、
>20)
商の微分
分母、分子にe を掛ける。
①lam+1-Bl=\f'(c)|lam-B
グラフ ya
a-B ......⑥
よって、グラフ
が成り立つ
2
ここで0.12.20 であるから,相加平均・相乗平
均の関係より,
等号成立は,e=
1
e+ +2≥4
また,am=βのときも, ⑥は成り立つ.
⑥をくり返し用いると,
したがって
f'(x)=-
1
ex+-
ex+2
よって、f'(x)の最大値は,1/1
(2)g(x)=f(x)-xとおくと,
すなわち, x=0 のとき
両辺ともに正より逆数をと
an+1
0<-x)
る.
したがって,
201
do
an-1-
a-
0.0<00<
-1
lim (1) la.-B1=0 であるから,⑦とはさみ
であり, lim
うちの原理より,
