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重要 例題 57
関数の作成
図のような1辺の長さが2の正三角形 ABC がある。 点P
が頂点Aを出発し、 毎秒1の速さで左回りに辺上を1周す
るとき,線分 APを1辺とする正方形の面積yを,出発後
の時間(秒) の関数として表し, そのグラフをかけ。
ただし, 点Pが点Aにあるときは y=0 とする。
CHART & SOLUTION
変域によって式が異なる関数の作成
場合分けの境目の値を見極める
① xの変域はどうなるか
-0≤x≤6
② 面積の表し方が変わるときのxの値は何か
→ x = 2,4
点Pが辺BC上にあるときの AP2 の値は、 三平方の定理から求める。
無料
y=AP2 であり、条件から,xの変域は
[1] x=0, x=6のとき
[2] 0<x≦2のとき
よって
y=x2
↓[3] 2<x≦4のとき
点Pは辺BC上にある。
辺BCの中点をMとすると, BC ⊥AM であり
よって, 2<x≦3のとき
3<x≦4のとき
AM = √3
ここで
ゆえに, AP2=PM2+ AM2 から y=(x-3)2+3
[4] 4<x< 6 のとき 点Pは辺CA上にあり, PC=x-4,
AP2=(AC-PC)2 から
y=(x-6)2
[1]~[4] から
0≤x≤6
点Pが点Aにあるから
点Pは辺AB上にあって
0≦x≦2のとき
y=x2
2<x≦4のときy=(x-3)2+3
4<x≦6 のときy=(x-6)2
グラフは 右の図の実線部分である。
PM=1-(x-2)=3-x
PM=(x-2)-1=x-3
1
YA !
・
0
I
|iii
I
1
1
y = 0
AP=x
I
BM=1
I
I
I
L 1
234
I
6 x
B
開く
X-4
BP MIC
x-2
結局2<x≦4のとき
PM=|x-3|
■頂点 (3,3), 軸 x=3
放物線。
←{2-(x-4)}=(6-x)2
*]=(x−6)²
頂点 (6,0), 軸 x = 6
の放物線。
補
← x=0, y=0 は y=x² に,
x=6, y=0 はy=(x-6)
に含まれる
[
C
