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検討
(1)
(ア) (gof) (x) (fog) (x) を求めよ。
(イ) (ho(gof))(x)=((hog) f(x) を示せ。
g(x)=2x-1, h(x)=-
(2) 2つの関数f(x)=x2-2x+3,g(x)=
域を求めよ。
X
解答
指針
(1) (7) gf) (x)=g(f(x)) (f.g)(x)=f(g(x)として計算。
(イ)(go)は、とするとである。 (の結果を利用する。
(2) (gof)(x) = g(/(x)) = 7 まず、f(x)の値を調べる。
(1)_) (gºf)(x)=g(ƒ(x))=2ƒ(x)—1=2(x+2)−1
について, 合成関数 (gf) (x) の値
重要 15. 16
p.24 基本事項
=2x+3
(fig) (x)=f(g(x))=g(x)+2=(2x-1)+2=2x+1
(イ) (gof)(x)=2x+3から (ho (gof))(x)=-(2x+3) 2
(hog) (x)=-(2x-1)2
また
よって (hog)f(x)=-{2(x+2)-1)=-(2x+3)^
(ho (gof))(x)= ((hog) of) (x)
1
(x-1)²+2
したがって
(2)_(g°f)(x)=g(ƒ(x))=-
x2-2x+3
y=(gof) (x) の定義域は実数全体であるから
1
(x-1)+2≧2
ゆえに 0
(x-1)² +2
よって, y = (gof) (x) の値域は 0<y≤2
x
である。
g∙f
f(x)
(gf) (x)=g(f(x))
この順序に注意!
(分母)=0 となるxは
ない。
<AB>0のとき
0 < 1/1/7247/1/20
1
②逆関数と合成関数
合成関数に関する交換法則と結合法則, 恒等関数
一般に, 関数の合成に関しては、 上の解答 (1) のように
(gof)(x)=(fog)(x), (hᵒ(g°f))(x)=((hᵒg)°f)(x) である。
つまり、交換法則は成り立たないが, 結合法則は成り立つ。 なお, 結合法則が成り立つから、
ん (gof) を単に hogo f と書くこともある。
また関数 f(x) が逆関数をもつとき, y=f(x) ⇔ x=f''(y) であるから
(flof(x)=f'(f(x))=f'(y)=x
同様にして, (fof-l) (y) = y が成り立つ。
つまり
(f-1of) (x) = (fof-1)(x)=x
変数xにx自身を対応させる関数を
恒等関数という。
練習 (1) f(x)=x-1, g(x)=-2x+3, h(x)=2x2+1について、次のものを求めよ。
② 14
(ア) (fog) (x)
(イ) (gof) (x)
(ウ) (gog) (x)
(エ) ((hog) of) (x)
(オ) (fo(goh))(x)
(2) 関数f(x)=x2-2x,g(x)=-x2+4x について, 合成関数 (gof) (x) の定義域と
値域を求めよ。
p.32 EX 11,12
