数学II、微分の問題についての質問なのですが、下の写真の赤ボールペンで線を引いたところの、f'(x)が、なぜそうすると式が成り立つのか分かりません。下のf'(x)を用いた定積分の式は、何を表しているのか教えて頂きたいです🙇‍♀️

346 重要 217 3次関数の極大値と極小値の差 0000 |関数f(x)=x6x+3ax-4の極大値と極小値の差が4となるとき、定数の 値を求めよ。 X=8で極小値をとるとすると ページの例題と同じ方針で進める。x=αで極大値 x= f(a) f(B)を実際に求めるのは面倒なので、f(α)(B)をα-Bat Bag 大値と極小値の差が4f(α)(B)=4 (B)-(+)-4αβ を利用することで, a+B, aBのみで表すことができる。 (x)=3x²-12x+3a 解答 f(x)は極大値と極小値をとるから 2次方程式(x)=0 すなわち3x12x+3a= 0 ...... ① は異なる2つの実数 解α, β (a<β) をもつ。 よって、 ①の判別式をDとすると D>0 D=(-6)~3(3a)=9(4-a)であるから4-0 4 したがって a<4...... ② f(x)のxの係数が正であるから,f(x)はx=αで極大 x=βで極小となる。 f(a)-f(B)=(a³-ß³)-6(a²-B²)+3a (a-B) =(a-B){ (a2+αB+B2)-6(a+β)+3a} =(a-B){ (a+B)-αB-6(a+β)+3a} ①で,解と係数の関係より よって a+β=4, aβ=a a-B=-2√4-a (a-B)=(a+B)2-4aβ=42-4・a=4(4-a) <Bより、α-β< 0 であるから ゆえに f(α)-f(B)=-2√4-a (42-a-6・4+3a) 今回は差を考えるので、 x <βと定める。 α B... f'(x) + 0 (x) 極大極小 0 3次関数が極値をもつとき 極大値 > 極小値 ②から 4-a>0 よって√4-a>0 =2√4-a{-2(4-α)} =4(√4-a)³ 44-a=(√4-a)² f(a)-f(B)=4であるから 4(√4-a)=4 すなわち よって (√4-a)³=1 √4-a=1 Aa=1 の両辺を2乗し ゆえに, 4-α=1から a=3 これは②を満たす。 て解く。 定積分を用いた計算方法 自 討 f(α)-f(B) の計算は,第7章で学習する積分法を利用すると, らくである。 (a)-f(8)=f(x)dx=3(x-a)(x-B)dx=3{-1/(a-B)"} ←p.377 基本例題 240 (1) NE これにα-β-2√4-a を代入して,f(a)-f(B)=4(√4-a) となる。 の公式を利用。 関数f(x)=x+ax2+bx+c がx=αで極大値, x=βで極小値をとるとき, 17 f(a)-f(B)=1/2(B-a)となることを示せ。 [類 名古屋大]

考え方が分からないです🤷‍♀️ a >0ではダメなのですか？ また、なぜX🟰➖10のとき、y🟰➖5でaを求められるのか？ X🟰4とかではダメなのか？ 教えてください

練習問題 重要 1 関数y=ax において,xの変域が10≦x≦4のとき, の変域が-5≦y ≧0です。 定数 αの値を求めなさい。

何故左の写真はthat節中の動詞にsがついて、右はついていないのか教えていただきたいです。(どちらもthat節中の主語はshe) 重要性や必要性を表す動詞の後ろには動詞の原形がつくので、左の写真のthat節中の動詞は右と同様にsがつかないと思うのですが🤔

注意 ▼ that節の動詞の形を変える bliode aw fed that節の内容に注意! 重要や必要を表す文のthat節で, that節の動詞を主語や時制に合わせて適当な 形に変えることがある。 that節で表す内容を、 実際そうなると想定しているという感覚。 It's important that she understands our policy. (彼女が私たちの方針を理解することは大切だ)

［1］の条件は思いつくのですが、［2］と［3］の条件が自分ではなかなか思いつきません。こういうのは何回もこの問題を解くしかないのでしょうか？

8 重要 例題 関数とその逆関数のグラフの共有点(2) 00000 f(x)=x²-2x+k(x≧1) の逆関数をf'(x) とする。 y=f(x) のグラフと |y=f'(x) のグラフが異なる2点を共有するとき, 定数んの値の範囲を求めよ。 基本10 指針 逆関数f'(x) を求め, 方程式f(x)=f(x) が異なる2つの実数解をもつ条件を考え てもよいが、無理式が出てくるので処理が煩雑になる。ここでは,逆関数の性質を利 用して、次のように考えてみよう。 共有点の座標を (x, y) とすると, y=f(x) かつy=f-1 (x) である。 ここで,性質 y=f'(x)=x=f(y) に着目し,連立方程式 y=f(x), x=f(y) が異なる2つの実数解 (の組) をもつ条件を考える。 x, yの範囲にも注意。 共有点の座標を (x, y) とすると tv= 解答 y=f(x) かつy=f-1(x) 参考 y=x2-2x+kとす ると y=f-1(x) より x=f(y) であるから,次の連立方程式を考 よって える。 y=x2-2x+k(x≧1) ①, x=y2-2y+k(y≧1) ① ② から y-x=(x+y)(x-y)-2(x-y) したがって (x-y)(x+y-1)=0 x1,y≧1であるから x+y-1≧1 ゆえに x=y よって, 求める条件は, x=x²-2x+k すなわち x2-3x+k=0が x≧1 の異なる2つの実数解をもつこと である。 B すなわち, g(x)=x2-3x+kとし, g(x) =0の判別式をD こ とすると、次のことが同時に成り立つ。 [1] D> 0 x2-2x+k-y= 0 x=1±√12-(k-y) x≧1から x=√y-k+1+1 xとyを入れ替えて,逆関 数は f1(x)=√x-k+1 +1 A 逆関数f(x) の値域 は 関数 f(x)の定義域と 一致するから y≧1 B 放物線とx軸がx≧1 の範囲の異なる2点で交わ る条件と同じ。 y y=g(x) [2] y=g(x) の軸がx>1の範囲にある [3]g(1) 20 [1] D=(-3)2-4・1・k=9-4k ={(x)}(1) 9 よって 9-4k>0 ゆえに k< 3 4 3 3 + 0 3 [2] 軸は直線 x = x=1/2で12/28>1である。 [3]g(1)≧0から 12-3.1+k≧0 よって k≧2 4. ③④の共通範囲をとって 9 2≤k<- (S) or N 4

青い下線がしてあるところから，その下の式になるまでの，変形の仕方がわからないので教えてください

42 重要 例題 21 等式を満たす多項式の決定 00000 | 多項式 f(x) はすべての実数xについてf(x+1)-f(x) = 2x を満たし,f(0)=1 であるという。このとき, f(x) を求めよ。 [一橋大〕 基本15 例えば, f(x) が2次式とわかっていれば,f(x)=ax2+bx+c とおいて進めることが できるが,この問題ではf(x)が何次式か不明である。 →f(x)は n次式であるとして,f(x)=ax+bx+... a=0, n≧1) とおいて 進める。f(x+1)-f(x) の最高次の項はどうなるかを調べ, 右辺 2x と比較するこ とで次数nと係数 αを求める。 なお,f(x) = (定数) の場合は別に考えておく。 TRAHD f(x)=1 | この場合は, (*)に含ま れないため、別に考えて いる。 f(x)=c(cは定数) とすると, f (0)=1から 解答 これはf(x+1)-f(x)=2x を満たさないから,不適。 よって, f(x)=ax+bx-1+...... (a≠0, n≧1)(*) とす ると f(x+1)-f(x) =a(x+1)"+6(x+1)"'+......-(ax”+bx-1+) =anx"-1+g(x) ただし, g(x)は多項式で,次数はn-1より小さい。 f(x+1)-f(x)=2xはxについての恒等式であるから,最 高次の項を比較して ...... · D, an=2 ・② (x+1)x1 =x"+nCix”-1+nCzxn-2+・・・ のうち, a(x+1)"-ax” の最高次 の項は anx"-1で残り この頃はn-2次以下とな ある。 P) 3 n-1=1 ①から n=2 ゆえに,②から a=1 anx-1と2xの次数と 係数を比較。 このとき, f(x)=x2+bx+c と表される。 f(0) 1から c=1 =2x+6+1 また f(x+1)-f(x)=(x+1)^+b(x+1)+c-(x2+bx+c) c=1としてもよいが, 結果は同じ よって 2x+b+1=2x この等式はxについての恒等式であるから 6+1= 0 係数比較法。 すなわち b=-1 したがって f(x)=x-x+1

イは1と2の並べ方を逆にして考えないのですか？

答 (1)6個の数字1,2,3,4,5,6を円形に並べるとき、1と2が隣り合う並べ方 は通りあり、1と2が向かい合う並べ方は通りある。 (2) 男子4人と女子3人が円形のテーブルに着くとき,女子の両隣には必ず男 子が座るような並び方は全部で 通りある。 13,17 重要 31 \ 指針 円順列の問題であるが, p.352 基本例題 13 と同じような条件の処理が必要となる。 (1) (ア) 隣り合う 1と2を1組にまとめて1つのものとみなし), 3, 4,5,6 との円 順列を考える。 次に, 1と2の並べ方を考える。 (イ) 1を固定して考えると, 2の位置も自動的に固定される。 (2) まず男子を円形に並べ, 男子と男子の間に女子を並べると考える。 (1)1と2を1組と考えて,この1組 と3,456 円形に並べる並べ方は (5-1)!=4!=24 (通り) 1と2の並べ方は 2!=2(通り) よって 24×2=48 (通り) (イ) 1を固定して考えると, 2は1と向 かい合う位置に決まる。 1と2 左図のに3,4,5,6 が入る。 1と2を固定し て考えると,3,4,5,6 を○に並べる順列の数 で 4! 通り 残りの4つの位置に 3, 4, 5, 6を並べ ればよいから 固定 1と2は固定されている から, 円順列とは考えな い。

英文解釈について質問です。 解説では an important role の後が副詞のかたまりに なっています。 僕はこのかたまりがなぜ形容詞のかたまりとして an important role を修飾せずに副詞のかたまり扱いに なっているのかわかりません。 どなたか解説お... Read More

る! 1 例文74 次の英文の構造を把握して、意味を考えましょう。 The environment that parents give to their children plays an important role in enabling them to grow up to be successful adults.

教科違ったらすみません。 恩赦って何故あるのですか？ はっきり言ってなんのためにあるのか分かりません。 犯罪者と世の中の出来事なんて全く関係ないじゃないですか。

「2」でなぜnは2以上じゃないといけないんですか

388 重要 例題 26 分数の数列の和の応用 (1) 次の和を求めよ。 ただし, (2) では n≧2 とする。 1 (1) - kik+2+vk+1 (2)(+1) (k+3) (k+1)+3) 2 00000 数列 CHART & SOLUTION 分数の数列の和差の形を作り途中を消す 分母の有理化、部分分数に分解 を利用 (1) 第k項の分母を有理化して差の形を作る。 (2)第k項を部分分数に分ける。 解答 (2) (1) 1 √√k+2+√k+1 √k+2-√k+1 (vk+2+√k+1)(√k+2-√k+1) √k+2-√k+1 -=√k+2-√k+1 (k+2)-(k+1) であるから 1 == k=1 k=1√k+2+√k+1 (vk+2-k+1) =(-1/2)+(2)+(-) =√n+2-√2 第項の分母を有 する。 分母は (√k+2)-(+ =(k+2)-(k+1) ++(n+1)+(√n+2-\n+1)第(n-1)項は (1)であるから (k+1)(k+3) k+1 +3 n≧2 のとき √n+1-√n 第k項を部分分数に分 CHA 分数 部分 基本 ただ 分母 差の 解 第 O (k+1)(k+3) = n k=1 1 1 k+1 k+3/S+ =(1/2)+(1/2)+(-1) = ++(1/1)+(2)+(2113) 1 る。 (k+3)-(k+1) (k+1)(k+3) と 消し合う項がはなれて いることに注意。 \n+1 n(5n+13) -+-+2 +36(n+2)(n+3) 3 PRACTICE 26Ⓡ 次の和を求めよ。 ただし, (2) では n≧2 とする。 (1) - k=1vk+4+√k+3 2 (2)2(+2)(k+4)

⑵で x-1<0, x-2≧0 という場合分けはしなくていいのでしょうか？

基本事項 20 のとき) 0 のとき) 次の方程式を解けむ式の解法 (1)|x-2|=3x I (2)|x-1|+|x-2|=x (1) 141={_^ 絶対値記号を場合分けしてはずすことを考える。 それには, 指針 ( A ≧ 0 のとき) ( A < 0 のとき) であることを用いる。 このとき, 場合の分かれ目となるの は, A=0, すなわち,| |内の式 = 0 の値である。 (1)x2≧0と x-2<0, すなわち, (2) x-2≥0 x-2<0 x-1<0x-1≥0 x≧2とx<2の場合に分ける。 おくと =±2 (2)2つの絶対値記号内の式x-1, x-2が0となるxの 値は,それぞれ1 2であるから,x<1, 1≦x<2, 2≦x の3つの場合に分けて解く (p.75 ズーム UP も参照)。 2 AX x 場合の分かれ目 から 1 解答 が, を利用して (1) [1] x2 のとき, 方程式は これを解いてx=-1 ない。 x-2=3x x=-1はx≧2を満たさ [2] x<2のとき, 方程式は -(x-2)=3x 1 1 の数に これを解いて x= x= はx<2を満たす。 2 2 すくなる。 1 とおくと [1], [2] から, 求める解は x= 重要! 場合分けにより,||を はずしてできる方程式の 解が、場合分けの条件を 満たすか満たさないかを 必ずチェックすること (解答の の部分)。 最後に解をまとめておく。 (2) [1] x<1のとき, 方程式は (x-1)(x-2)=xx-1<0, x-2<0→ すなわち -2x+3=x - をつけて||をはず す。 EX これを解いて x=1 [2] 1≦x<2のとき, 方程式は (x-1)(x-2)=x これを解いて x=1 x=1は1≦x<2を満たす。 (x-1)+(x-2)=x [3] 2≦x のとき,方程式は x=1 は x<1を満たさない。 x-10, x-2< 0 x-1>0, x-2≧0 すなわち 2x-3=x 直線上の これを解いてx=3 以上から 求める解は x=3は2≦xを満たす。 x=1,3 最後に解をまとめておく 不等式を y=x-21のグラフと方程式 検討 PLUS ONE (1)について y=x-2|は,x≧2のとき y=x-2, であるから, y=|x-2|のグラフは右の図の① (折れ線) であ る (p.118 参照)。 折れ線y=|x-2| と直線 y=3xは,x 座標 がx=-1の点で共有点をもたないから, x=-1が方程式 |x-2|=3xの解でないことがわかる。 yy=3x y=x-2 x<2のとき y=(x-2) 2 -10 2 12