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前ページの例題2、 √2が無理数であることを証明せずに用いた。
√2が無理数であることは, 背理法を用いて次のように証明できる。
応用
例題
2 は無理数であることを証明せよ。
1
証明
第2章 | 集合と命題
解説 √2は無理数でない、 すなわち有理数であると仮定して矛盾を
導く。 また, 65ページの例題1で証明した次のことを用いる。
nを整数とするとき ²が偶数ならば, n は偶数である。
√2は無理数でない, すなわち有理数であると仮定すると,
1以外に正の公約数をもたない2つの自然数a, bを用いて
と表される。 このと
√2-16
2=9
b
67
第2章
a=√2b
両辺を2乗すると a²=26²
①
よっては偶数,したがって, α も偶数である。
a
ゆえに, a は, ある自然数 c を用いて
a=2c
と表される。 ② を①に代入すると
4c²=262
すなわち
b2=2c²
よって, 62 は偶数, したがって, bも偶数である。
とはともに偶数であり, 公約数2をもつ。
このことは, ともが1以外に正の公約数をもたないことに
矛盾する。 したがって2は無理数である。
R
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