⑴、⑵教えて欲しいです。 全く解答が理解できません。 よろしくお願いします🙇‍♀️

(1)《OAction 余りに関する証明は, 余りによる分類(剰余類)を利用せよ」 (2) 1, m, nを自然数とする。 +m° =D n" ならばし, mのうち少なくと 例題242 ピタゴラス数の証明 例題2。 とを示せ。 。nを自然数とする。 『十m*=" ならば1, mのうちか 3つ 結論 めよ も1つは2の倍数であることを証明せよ。 具 p (2)条件の言い換え (ア) 1だけが2の倍数 (イ) mだけが2の倍数 (ウ) 1, mともに2の倍数 3つの場合があり 証明しにくい 結論 Action》「少なくとも~」 の証明は, 背理法を利用せよ 開(1) 自然数aは2で割った余りに注目すると, 2b, 2p-1 (かは自然数)のいずれかで表すことができる。 (ア) a= 2b のとき 4で割ったときの余りで 分類してもよいが,2で 割ったときの余りで場 分けして考えても,うま く4でくくることができ 例題 240 解 a° = (2p)° = 4が かは自然数であるから, がは整数である。 よって, α° を4で割った余りは0である。 (イ)a=2b-1 のとき る。 = (2p-1)? = 4(がーカ)+1 かは自然数であるから, がーかは整数である。 よって,' を4で割った余りは1である。 (ア), (イ)より, α'を4で割ったときの余りは0か1である。 (2) 1, mがともに2の倍数でないと仮定すると, (1)()より,?, m' はともに4で割ったときの余りが1 である。 よって,左辺の+ m' を4で割った余りは2である。 ところが,(1)より,右辺の nパを4で割った余りは0ま たは1である。 ゆえに,?+m° =" であることに矛盾する。 したがって,1, m, nが自然数のとき,パ+m'=n° ならば,1, mのうち少なくとも1つは2の倍数である。 *2の倍数でないから、1 m はともに奇数である。 H+8=を満た相 然数 a, 6, c の組をビタ ゴラス数という。 2つの整数『+m' (4で 割った余りが2)とが (4で割った余りが0かり が一致することはない。 SNロPK 思考のプロセス

この問題を教えて欲しいです。 また証明の時に文字を置くとき、整数であったり実数であったり自然数と置くとありますがこれはどのように判断して考えれば良いですか？？ 教えて下さい。よろしくお願いします🙇‍♀️

■a+bと ab が互いに素ではないと仮定すると, a+b, ab 2つの自然数aとbが互いに素であるとき, a+bと ab も互いに素である したがって,最大公約数が1であるから, a+bと abは互 「Action》互いに素であることの証明は, 背理法を用いよ →a+bと abが共通な素因数をもたない1難しいので, 背理法 回題 よ。 ことを証明せよ。 条件の言い換え」 a+bと abが互いに素 「~ない」 の証明は は素数の公約数pを用いて a+b= pm … ①, とおける。ただし, m, nは整数である。 背理法(例題52, 53) を 用いる。 ab = pn …2 第232 O ゆを素数の公約数とせず, 単に公約数とすると,例 えば p=6 のとき, aが 2の倍数であが3の倍数 のように, pがaまたば bの約数でない場合もあ る。 ) かがaの約数であるとき = pe (k は整数)とおくと, ① より mーkは整数であるから, かはbの約数でもある。 (4)pがりの約数であるとき (7)と同様に,pはaの約数となる。 (7, (イ)より,かはaとbの公約数となり, aともが互いに 素であることに矛盾する。 したがって, a+6と abは互いに素である。 (別解) a+bと ab の最大公約数をgとおくと a+b= mg …O, と表される。ただし, m, nは互いに素な自然数である。 0より 2に代入すると 6= (m-k)p 自然 かは素数であるから1で はない。 s 02 1) 4a+bと ab の公約数をg とおいて, g=1 である ことを示す。 ab = ng …2 6= mg-a a(mg-a) = ng よって a° = (am-n)g 同様にして 6° = (bm-n)g ゆえに,gはa', 6の公約数である。 ここで, aとbは互いに素より, α' とも互いに素である から Ia, bは共通な素因数を たないから,' と6も 通な素因数をもたない g=1 いに素である。 のプロセス

⑶教えて欲しいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

1からnまでの自然数の中で, n と互いに素である目然数の個数を」 | Action》 互いに素である自然数の個数は, 互いに素でない自然数の個数から考。 正の整数 N を素因数分解して, N =がg"r"·… (p, 9, r, ·…… は素数)と表されると となることが知られている。この関数φ(N) をオイラー関数という。 例題 236 互いに素である整。 (3) f(が) 問題編 (2) S(b) 225 (1) (1) S(100) 条件の言い換え 補集合を考える 226 (1) 数は2または5の倍数である。 ここで,1から 100 までの自然数の中に 2の倍数は 50個,5の倍数は 20個,10 の倍数は10個 よって,2または5の倍数は 50+20-10 = 60 (個) 227 (1) (2 100 = 2×50, 100 = )3D5X20, 100 = 10× 10 n(AUB) =n{A)+mB- したがって f(100) = 100-60 = 40 (2) かは素数であるから, 1からかまでの目然数の中で小 ←具特: bと互いに素でない自然数はかのみである。 228 1 | fにい したがって f(p) = p-1 229 (3) 1からがまでのが個の自然数に含まれる かの倍数は b, 2p, 36, ……, がかのがー個 4(1) と同様に が= DXがよ) が1個と考えても したがって f(p")= p"- p"-1 人力 230 S Point オイラー関数 き,1から Nまでの正の整数の中で N と互いに素である整数の個数は K) =A1 )… (0) 例えば,例題 236 (1) は 183 e00) -101-1-100 吉三0 9(100) = 23 14 : 40 25 のフロセス

数Ⅲの数列の極限です。 ａｎやｂｎをなぜ写真のように任意で置くのか分かりません。それぞれなぜ逆数や√で置くのかもわからないです。解説お願いしますm(_ _)m

95 数列 {an}, {b»} において, 次の命題の真偽をいえ。 数列{an}, {b»}において, 次の命題の真偽をいえ。 (2) {anbn}, {an}がともに収束するならば,{b}も収束する。 (1) lim(an-bn)=D 0, liman = α ならば limbn = α (3) lim(an+1- n) = 0 ならば {an}は収束する。 数列の極限の性質(1) 1分 95 1→ 0 1→ 00 →0 式を分ける 数列 {am), {b»}が収束するならば lim(an+ bn) = liman+ lim6,ns limanbn = limanlimbm カ→ 0 1→ 0 れ→ 0 1→ 0 (1) ③ lim(an-bn) = 0 より liman-limbn= 0 合 limb,が収束するとは ガ→ 0 n→ o → 0 誤り 2→ 0 限らないから,誤り。 anbn lim れ→ 0 ln B -a, Bがどのような数でも成り立つか? lim bn → 0 (3) 反例として,lim(an+1- an) =0 であるが liman = o となる {an}を考える。 第→ 00 不定形 o - o で0に収束< Action》数列の収束の判定は, 収束する数列の和 差 積·商を考えよ (1) limbn = lim{an- (an-bn)} = liman lim(an- b) {b}の収束,発散がわか らないから,単純に lim(an-bn) 1→ 0 n→ 0 n→ 0 c0- =α-0 = a したがって,この命題は真である。 = lima,- limb, ガ→ 00 とはできない。 an bn = nとすると n |lima, = 0 のとき #→ 0 limanba 11 Tim n→o n liman lim n→ 0 n anbn limb, = lim B = 0 n→ 0 n→ 0 0 1→ o とはできないから, lima, = 0 となる例を考 よって, 数列 {an6,}, {an}はともに収束する。 ところが, limbn limn =8 となり,数列 {bn} は発散 える。 2→0 8t4 する。したがって, この命題は偽である。 反例,すなわち {an+1-an}は0に収束 るが{an}が発散する色 をさがす。 an = Vとすると m(an+1-4m) =Dlim(/n+1-/n) O- 1 = 0 lim 2→ 0 n ところが, liman = lim n=8 となり, 数列 {am} は発 n→ 0 2→ o 敗する。したがって, この命題は偽である。 Un R ならば lim bn B →0 2

この問題教えて欲しいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

が陽性反応を示した。次の確率を求めよ。 た人のうち 20%が保菌者であった。また,。この検査を受けた保菌者のう 人がある病原菌に感染しているか否かを検査する試薬がある。。検査を受け 工場 くの 2 0%が陽性反応を示した。一方、検査を受けた非保菌者のうち,20% よ。 この検査で隠場性反応を示した人が保菌者である確率 -の検査で陰性反応を示した人が非保菌者である確率 か」 @Action 事後の確率は,条件つき確率で表せ &件の~3…「保菌者かどうか」 「検査で陽性反応を示すかどうか」 つ検査を受けた人が A…保菌者である事象,B…陽性反応を示す事象 とする。 例題 223) とする。 条件の言い換え 条件2 → 保菌者であったときに、 A, Bを用いて表すと 「陽性反応を示す確率 (HD 0 陰性反応を示す確率 00P1 「陽性反応を示す確率 P[ 陰性反応を示す確率 P P 16 X0000 い 条件3 →非保菌者であったときに、 9 検査を受けた人が保菌者である事象を A, 検査で陽性反応を示すという事象をBとする。 (1) 求める確率は Pa(A) である。 条件2より Pa(B) 10 PA(B) = 条件3より 10 ま 8 2 Pa(B) 同じ Pa(B) 10° 事 2 9 9 10 P(ANB) = P(A) × PA (B) = 10 10 50 が得られる。 P(BNA) P(B) 品 8 2 4 P(ANB) = P(A)× Pa(B) P(A) 10 10 25 ANBとABは互いに排反であるから 4 P(ANB) P(B) よって,P(A B) と P(B) を求める。 9 17 P(B) = P(ANB)+ P(ANB)= 50 25 50 P(ANB) 9 17 9 よって Pa(A) = P(B) 50 50 17 Pa(A) = P(BnA) P(B) (2)求める確率は Pa (A) である。 8 P(AnB) = P(A) × Pa(B) = 8 16 P(ANB) P(B) 10 10 25 33 P(B) = 1- P(B) = よって,P(AN B)と P(B)を求める。 50 33 32 P(ANB) 25 P(B) 16 よって Pa(A)= 三 50 33 224 ある病気の検査がある。この病気にかかっている人がこの検査を受けて陽性と 出る確率が98%で,かかっていない人が受けた場合には 98%の確率で陰性と 出る。さらに,実際この病気にかかっている人の割合は 0.5%だとする。ある 人がこの検査を受けたところ,陽性と出た。この人がこの病気にかかっている II II II II 考のプロセス る要

この問題教えて欲しいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

(1) Xが4で割り切れる確率 さいころをくり返しn回投げて, 出た目の積をX とするとき, 次の確率 率 の ★★★ を求めよ。 (2) Xが6で割り切れる確率 見方を変える (1) Xが4で割り切れる 余事象 Xが4で割り切れない A:偶数の目が少なくとも2回出る排反でなく。 B:4の目が少なくとも1回出る A:偶数の目が1回も出ない ANBも考えにくい (2または6の目が1回だけ出て、 B: 全事象を考えると,排反な事象に分けたり, ANBを考えやすい事象に分けたりすることが 残りはすべて奇数の目が出る 排反 できる場合がある。 Action》「積がある自然数で割り切れる」 確率は, 余事象を考えよ 1)余事象「Xが4で割り切れない」 は次の2つの場合が 16 ある。 A:偶数の目が1回も出ない B:2または6の目が1回だけ出て, 残り (n-1)回は奇 数の目が出る この2つの事象は排反であるから,求める確率は 1-P(AUB) =1-{P(A) + P(B)} (2)+たい(ー (求める確率) =1-(X が4で割り 切れない確率) PCANE). をイ何枚 *AとBが排反であるから P(AUB) = P(A) + P(B) 3 三 (土) n-1 n 1 =1- 引なくと 3 2 (2) 余事象「Xが6で割り切れない」は C:偶数の目が1回も出ない D:3の倍数の目が1回も出ない とすると (求める確率) =1-(Xが6で割り 切れない確率) また,ド·モルガンの法 則により (6で割り切れない) (6で割り切れる) (2の倍数)n(3 の倍数) = (2の倍数)U(3 の倍数) =CUD CUD また,CnD は毎回1か5の目が出るという事象である から,求める確率は 1-P(CUD) = 1-{P(C)+P(D) - P(CnD)} n 三 n n n =1 isb AC s0 E 三 6章いろいろな試行と確率 思考のプロセス|

⑴と⑵の求め方の違いを教えて欲しいです。 よろしくお願いします🥲

(1) Xが4で割り切れる確率 さいころをくり返しn回投げて, 出た目の積をX とするとき, 次の確率 率 の ★★★ を求めよ。 (2) Xが6で割り切れる確率 見方を変える (1) Xが4で割り切れる 余事象 Xが4で割り切れない A:偶数の目が少なくとも2回出る排反でなく。 B:4の目が少なくとも1回出る A:偶数の目が1回も出ない ANBも考えにくい (2または6の目が1回だけ出て、 B: 全事象を考えると,排反な事象に分けたり, ANBを考えやすい事象に分けたりすることが 残りはすべて奇数の目が出る 排反 できる場合がある。 Action》「積がある自然数で割り切れる」 確率は, 余事象を考えよ 1)余事象「Xが4で割り切れない」 は次の2つの場合が 16 ある。 A:偶数の目が1回も出ない B:2または6の目が1回だけ出て, 残り (n-1)回は奇 数の目が出る この2つの事象は排反であるから,求める確率は 1-P(AUB) =1-{P(A) + P(B)} (2)+たい(ー (求める確率) =1-(X が4で割り 切れない確率) PCANE). をイ何枚 *AとBが排反であるから P(AUB) = P(A) + P(B) 3 三 (土) n-1 n 1 =1- 引なくと 3 2 (2) 余事象「Xが6で割り切れない」は C:偶数の目が1回も出ない D:3の倍数の目が1回も出ない とすると (求める確率) =1-(Xが6で割り 切れない確率) また,ド·モルガンの法 則により (6で割り切れない) (6で割り切れる) (2の倍数)n(3 の倍数) = (2の倍数)U(3 の倍数) =CUD CUD また,CnD は毎回1か5の目が出るという事象である から,求める確率は 1-P(CUD) = 1-{P(C)+P(D) - P(CnD)} n 三 n n n =1 isb AC s0 E 三 6章いろいろな試行と確率 思考のプロセス|

⑶⑷教えて欲しいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

例題172 (2) 0.2-01, 0.2°, 0.2g (4) 24,34, 6& 次の各組の数の大小を比べよ。 例題12 (3) 35, 44, 53 基準を定める 底も指数も異なると,比較しにくい。 底をそろえて,指数を比較する。 (ア) 4y=a 既知 a" 底 (7) a>1のとき () 0<a<1のとき かくq→a"> α° 指数をそろえて,底を比較する。 pくq→<a° 《Re Olpgx Act 指数 (7) p>0のとき () pく0のとき (4) 底,指数をそろえにくい。 aくb→<b aくb→ a> 6° 解 (1) A 各数は正であるから, n乗しても大小が変わらない。 Action》累乗の大小比較は,底または指数をそろえるか, n乗して判断せは p 00 口 (1) (7=21, 0.5-1-(2-)=2i, /8 ー (2')# =2# y=2 は増識 底は2(>1)であり, 3 く <1より き 2ま<2<2<2 よ 54 y=2/ 2 よって 2<S<0.5-<2 (ア (2) 底は0.2(<1)であり, -0.1<<3より 3 日不等号の向きに出 る。 0.2 <0.2 <0.2-0.1 (3) 35 = (3°)" = 243", 44 = (4')! = 256", 5= (5°)" = 125 125<243< 256より y=0.2"は減少職 =0.2 よって 125"<2431<2561 5<35く44 (4) 各数をそれぞれ6乗すると VI (ア 103 (2) = 2 =8, (33)= 3"=9, (68)°=6'=6 よって(6y<(2)<(3iy ー01 。 3つの数をそれぞれ すると,指数が整察 るから,3数の6 は簡単な整数となる。 Poini α+ 3つの数の底はすべベて正であるから 練習172 次の各組の数の大小を比べ上 正の 6<2<3 33 考のフロセス 3 思考のプロセス|

赤い枠の単語を必要があれば品詞を変えて埋めるのですが、よく分からないので教えてください。

Vocabulary Practice A. Completion. Complete the paragraphs below using the correct form of the words in the box. One word is extra. hazardous discard pile substance notify infrastructure Reuse and recycle: these well-known ideas for dealing with trash are being employed to handle e-waste such as old computers, cell phones, and televisions. Many companies send used electronic items from the United States and the European Union to developing nations. They claim to be recycling, and also helping the developing world modernize its Customers shop for used televisions at a secondhand electronics market in Lagos, Nigeria. - However, the reality may be quite different. The Basel Action Network of Seattle, Washington, recently reported that three-quarters of the supposedly reusable electronics shipped to Lagos, Nigeria, are in fact broken. Consequently, 2.. roads. Often it's picked apart by the desperately poor, who come in contact with toxic 4. 5. Richard Guttierez of the Basel Action Nerwork believes companies in developed nations pay lip service' to recycling while actually disposing of their e-waste as cheaply as possible, leaving the developing world to deal with the problems it causes. of e-waste end up being 3.. - along rivers and -Such as lead-in the broken equipment. Lead is known to be especially to the health of growing children.

？している部分教えて欲しいです。 よろしくお願いします🙇‍♀️

表示 実数,yがぎ+y=1 を満たすとき,x+ 2xy-yの最大値と恥小せ Action》 円+y?=r上の点(x, y) は, x=rcos 0, y = rsin0 とせよ す。「wh 例題163 条件つき2変数 PlE を求めよ。 条件つきの2変数関数である。 条件」 xyの項が複雑になってしまう。 の表す図形が分からない。 2変数(1変数 (cosd, st 変数を減らす 見方を変える Jx= cos0 ly= sin0 80) 1x 点(, y)が円+y°=1上にある 0200 + 0S200 0820g (1+SeooS)0820 ■実数x, yはx°+y° =1 を満たすから x= COsO, y = sin0 (0 < 0< 2π) とおける。よって *+2xy- y° = cos° 0 +2cos0sin0- sin°0 0S200 ま 0 ち |2cos0sin@ = sin26 cos°0- sin°0 = cos = sin20 + cos20 よケ 2 08 0 (2 sin( 20 + 4 π π ここで,0S0く2π より n π 17 S20+ く 4 4 4 π よって sin(20 + -1のとき -1S sin 20 + 13 -π π, 4 -2s(2 sin 20 + 5 0 三 8 8 )s2 T =1のとき したがって 4 最大値(2,最小値 -2 sin( 20+ Point 円の媒介変数表示 9 -π T 0 8'8 円*+y= (r>0)の周上の点Pは,動径 OP が *軸の正の向きとなす角0を用いてP(rcos0, rsind) と表せる。 すなわち x=rcos0 P(rcosd, rsin) リ= rsin@ これを、0を媒介変数とするこの川 いう。 0 II 思考のプロセス