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基本例 244 定積分と和の極限(1) 基本
次の極限値を求めよ。
(1) lim
n-ok
n
00000
(1) 琉球大, (2) 岐阜大]
(2) limΣ
n→∞k=1
(k+n)²(k+2n)
p.406 基本事項 ①
重要 246,247,
指針>
∞nk=1
lim ()=S, f(x)dx または lim/2)=Sof(x)dx
∞nk=0
のように, 和の極限を定積分で表す。 その手順は次の通り。
① 与えられた和 S, において,をくくり出し, Sn=1Tn
y
y=f(x)
n
n
の形に変形する。
[2] Tmの第項がf(22)の形になるような関数 f(x) を見
つける。
③3 定積分の形で表す。それには(またはZ) → So
←
dxと対応させる。
0 12. k-1 kn-11 *
n
n
1
→dx
xp->>
f() f(x),
→
n
解答
求める極限値をSとする。
n+k\
n+k\3
==
n
n
母は、常に
n
よって
=
n
1 n
(+)
(1)
Slim (n+k) = lim (1
n→∞k=1
n→∞nk=1
=S(1+x)=[12/(1+x)]-322-2
「
□ (2) Slim-2
n→∞nk=1
[0, 1]
ここで,
(+1)(+2)(x+1)(x+2)
a
b
C
-dx
(x+1)(x+2)x+1+(x+1 +
x+1+(x+1+x+2 とすると
α=-1,6=1,c=1
よってs=Sol-x+1+
+ x+2)dx
(x+1)x+2
(2)[-log(x+1)x+ + log(x+2)]
3
-+log-
4
[参考] 積分区間は, lim 20
11-00 k=1
の形なら, すべて 0≦x≦1で
考えられる。
f(x)=(1+x)/
f(x)=-
(x+1)(x+2)
右辺の分数式は,左のよう
にして、部分分数に分解
する。 分母を払った
1=α(x+1)(x+2)
+(x+2)+c(x+1)2
の両辺の係数が等しいとし
て得られる連立方程式を解
また、x=-1,-2,0
など適当な値を代入しても
よい。
E
