習 236 (1) 関数 y=-3+2・32x+1 -3 +2 +5 の最大値, およびそのときのxの値を求めよ。
(2)関数y=log』 (x+2)+log』 (1-x) の最小値, およびそのときのxの値を求めよ。
(1)y=-33x+2・32x+1 -3 +2 +5
=-(3*) +2·(3*)2・3-32・3* +5
=-(3*)3+6 (3*)2-9.3*+5
3* = t とおくと
t>0
このとき,y= 1 + 61 - 9t + 5 と表される。
y' = -312+12t-9=-3(t-1)(t-3)
tの値の範囲を考える。
13+612-91+5
y=-
y
5
よって, t> 0 において,yの増減表は次のようになる。
t
0
1
3
y'
0
+
0
y
5
1
5
0 1 3
t
yはt=3*= 3 すなわち x=1のとき 最大値5
(2) 真数は正であるから x+2> 01-x > 0
よって -2<x<1
また y = log(x+2)+log) (1-x)
=
log (x+2)
1
log / 4
+log (1-x)
1/12logy (x+2)+10g(1-x)
2
12
{logy (x+2)+210g(1-x)}
-log (x+2) (1-x)2
底は0より大きく1より小さいから,y= log (x+2)(1-x)²
が最小となるのは,真数 (x+2) (1-x)2が最大となるときである。
ここで,f(x)=(x+2) (1-x)2 とおくと f(x)=x3x+2
f'(x) = 3x²-3=3(x+1)(x-1)
よって, -2<x<1において, f(x) の増減表は次のようになる。
3=3より x=1
真数の条件より、xの値
の範囲を考える。
底を1/2にそろえる。
log4=log.
y=f(x)
x -2
...
-1
f'(x)
+
0
f(x)
0
4
1
x = -1 のとき f(x) は最大値4をとる。
したがって, yはx=-1 のとき 最小値 -1
-2-10 1
12=-1
④log + 4 = log | 2
|
