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重要 例 43 隣接3項間の漸化式 (3)
n段 (nは自然数) ある階段を1歩で1段または2段上がるとき、
がり方の総数をα とする。 このとき, 数列{an}の一般項を求めよ。
この
指針 数列{a} についての漸化式を作り、そこから一般項を求める方針で行く。
1歩で上がれるのは1段または2段であるから, n≧3のとき
En段に達する
作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する)
[2] 1段手前 [(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法は
の2つの方法がある。このように考えて,まず隣接 3
項間の漸化式を導く。
→漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが、
特性方程式の解α, β が無理数を含む複雑な式となってしまう。 計算をら
ためには,文字 α βのままできるだけ進めて、最後に値に直すとよい
α=1, a2=2である。
解答 n3のとき, n段の階段を上がる方法には、次の [1], [2] の
場合がある。
-
[1] 最後が1段上がりのとき, 場合の数は (n-1) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
通り
[2] 最後が2段上がりのとき, 場合の数は(n-2) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
1=2
通り
[1]
最後に1段上がる
[2] 最後に2段上がる
n
(n-1)段
ここまでαn- 通り
(n-2)
(n-1)段
ここまで
よって
an=an-1+an-2 (n≧3)
......
(*)
和の
この漸化式は,an+2=an+1+an (n≧1) … ①と同値である。
x2=x+1の2つの解をα,β(α<β) とすると, 解と係数の
関係から比較 α+β=1, aβ=-1
①から
an+2-(a+β)an+1+aBan=0
よって
X
an+2-dan+1=β(an+1-aan), az-aa=2-a
an+2-βan+1=α(an+1-Ban), a2-βa=2-β
......
a
...
*
特性
②から
③から
an+1-dan=(2-α)βn-1
an+1-ßan=(2-β)α7-1
......
(4)
(5)
④ ⑤ から (β-α)an=(2-α)β"-1-(2-β)an-1 ...... (6)
1-√5
a=
2, B=
1+√√5
であるから β-α=√5
よって、⑥から
an=
√5
また, α+β=1, a2=α+1, β2=β+1 であるから
2-α=2 (1-B)=B+1=8° 同様にして
((1+√5)-(1-√5))
2-β=α2
1+√5)* -(1-√5)**)
次の条件
練習
④ 43
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
a=a2=1, an+2=an+1+3an
an
a
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