0.63
基本 例題 66
最大・最小の文章題 (1)
117
BC=18, CA=6 である直角三角形ABC の斜辺 AB 上に点Dをとり,Dか
ら辺BC, CA にそれぞれ垂線 DE, DF を下ろす。 △ADFとDBEの面積
の合計が最小となるときの線分 DE の長さと,そのときの面積を求めよ。
00000
基本 60
CHART & SOLUTION
る。
文章題の解法
最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
DE = x とすると, 相似な図形の性質からADF, △DBEはxの式で表される。
また、xのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。
3章
8
解答
DE=x とし, △ADFとDBEの
面積の合計をSとする。
0<x< 6
......
①
0<DE=FC<AC であるから
A
D
F
(辺の長さ)>0
B
E
C
← xのとりうる値の範囲。
AF=6-x
△ABC∽△ADF であり, △ABC: △ADF=62: (6-x)2
△ABC=18・6=54 であるから
△ADF=
AADF=(6-x)2.54-(6-x)²
相似比がmin→
面積比は2n2
三角形の面積は
1
(底辺)×(高さ)
2
よって ADBE= -.54=x²
=
同様に,△ABC∽△DBE であり △ABC: △DBE=62:x2
x²
62
AS
したがって, 面積は
549
S=△ADF+ △DBE
-3-((6-x)²+x²)
27
2次関数の最大・最小と決定
別解 長方形 DECF の面積
をT とすると, Tが最大に
なるときSは最小となる。
DF=3(6-x) から
T=x3(6-x)
=-3(x-3)2+27
0<x<6 から, x=3でT
は最大値 27 をとる。
よって、 線分 DE の長さが
3のとき, Sは最小値
=3(x²-6x+18)
=3(x-3)2+27
0
3
6
1・6・18-27=27
2
①において, Sはx=3で最小値27 をとる。
をとる。
よって、線分 DE の長さが3のとき面積は最小値 27 をとる。
PRACTICE 663
