316 第5章 指数関数と対数関数
Think
例題160 指数関数の最大・最小 (2)
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関数 y=(4*+4¯*)-2a (2'+2) +1 について、 次の問いに答えよ.
Q(1)2+2=t とおいて,yをtの関数で表せ.
(2)のとり得る値の範囲を求めよ.
○(3)yの最小値が10のとき αの値を求めよ.
考え方 (1) = (2')', 4'=(2x)より,
a+b= (a+b)-2ab を利用して変形する.
(2) 相加平均相乗平均の関係を利用する。」
(3)(1)(2)より与えられた関数は,
tについての2次関数になって
いる.
との関係
(a>0, x:実数)
axXa=1
(相加平均) ≧ (相乗平均)
a+bzab (a>06>0 のとき)
2
解合
(1) 2'+2x=t のとき,
4'+4¯*= (2*)+(2^*)2
=(2'+2x)2-2.2.2 =f-2
より y=f-2-2at+1=t-2at-1
(2)20,20 より 相加平均・相乗平均の関係
から、
2*+2*2/2.2* =2
等号は, 2*2*より、x=-xつまり、x=0 の
とき成り立つ.
よって, tの値の範囲は,
(3) (1)より,
(i) a <2 のとき
a+b2=(a+b)2-2.
2.2=1
相加平均・相乗平均の
関係を利用する.
a+b
2
-√ab
より,a+b2ab
軸は直線t=α より
軸と区間 t≧2 の位
関係から場合分けを
る.
(i) (i) のときのグラ
は下の図のように
t≧2
y=f-2at-1=(t-α)-α-1 ...... ①
t=2 のとき, yは最小値10 をとる.
13
2-2a・2-1=-10 より a=
4
これは, a<2を満たさない.
(ii) α≧2 のとき
(i)
t=α のとき,y は最小値10 をとる.
したがって, ① より - a²-1=-10
2=9 より, a=±3
1
a 2
a≧2より, a=3
よって, (i), (ii)より 求めるαの値は,
a=3
a
最小
練習
[160]
xは実数とする。このとき、関数y=-
10
(3*+3)-(9+9)-3
3
*** そのときのxの値を求めよ.
"最小
の最
(高島
