練習
の位置にある。
xy 平面において,次の連立不等式の表す領域に含まれる格子点の個数を求めよ。ただし,nは
32 自然数とする。
(1)x≧0,y≧0, x+3y≦3n
(1)領域は,右図のように, x軸, y軸, 直線
=1/2x+n
y=-3
-x+nで囲まれた三角形の周および
内部である。
ここで,x+3y=3n とすると
ゆえに,直線 y=k(k=0, 1,
......
(2) 0≤x≤n, y≥x², y≤2x²
yA
n
n-1
k
y=1/2x+n
(x=3n-3y)
x=3n-3y
n) 上には,
123
3n-3k
3n
K
-33604
K=1
n
(3-3k+1) 個の格子点が並ぶ。
よって, 格子点の総数は
n
k=0
(k)
n
(3n-3k+1)=-3Σk+(3n+1)Σ1
k=0
k=0
←k=2
k=0
k=0
k=1
1=1×(n+1)
=-
-3・
3.11n(n+1)+(3n+1)(n+1)
=12(n+1){-3n+2(3n+1)}
=1/21 (n+1)(3n+2) (個)
[検討 直線x=k (k=0, 1, ..., 3) と直線x+3y=3n の交点の座標は
k.n-
k
3
これはk=3m(m=0, 1, …, n) のとき格子点であるが,k=3m-2,3m-1(m
2,…, n) のとき格子点ではない。 よって, 直線 x=k上の格子点の数を調べる方針
場合は,k=3m,3m-1,3-2で場合分けをして考えていく必要がある。これ
変なので, 直線 y=k (k=0, 1,2, ..., n) 上の格子点の数を調べているのである
別解 線分x+3y=3n (0≦y≦n) 上の格子点 ( 0, n),
(3, n-1), ...,
(3n, 0) の個数は
n+1
4点(0,0,30,3,0,n) を頂点とする長方
形の周および内部にある格子点の個数は
(3n+1)(n+1)
ゆえに、求める格子点の個数は
1/2((3n+1)(n+1)+(n+1)}= 1 (n+1)(3n+2) (個)
y
n
x+3y=3n
