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8円･
(ア) 方程式zz +βz + Bz +1=0は,βが[
という条件を満たすとき,円を表す.
(立教大・観光, コミュニティ福祉)
(イ)|z-2i|l=|2z-i|を満たすぇの全体は複素数平面の中のどのような図形になるか調べなさい。
丸。
(ウ) 複素数zが等式|z-1|=2を満たすとき, 複素数 w=1+2iz を表す点 Q は, 複素数平面のど
のような図形上にあるか.
(東北芸術工科大)
|z-a | の形にする
|z-α|2=(z-α) (z-α)= (z-α) (z-a) = zz-az-az+aa
と展開できるが,これを反対向きに使うことで, zz+Bz+B2 の形を | を用いた形に直せる.
z-αの形にすることにこだわり過ぎない z=x+yi(x, y は実数) とおいて, x,yの関係式を
求める方法も忘れずに、計算量が少し増えたりするが, バーが出て来ないというメリットがある.
複素数の足し算、掛け算を操作と見る
すでにこれについては述べているが, (ウ) のような問題に
ついてもこのような見方をしよう.zに複素数の定数を掛けるのは回転。拡大に,複素数の定数を足す
のは平行移動にあたる.
解答量
(ア) zz+B2+B2+1=0
(z+B) (z+B)-BB+1=0
(z+B) (z+B)=BB-1
..
∴.|z+B|=|B|2-1
これが円を表す条件は, [B|2-1>0
∴. |β|>1
(イ) z=x+yi (x, y は実数) とおくと, |z-2i|=|2z-iのとき,
|x+(y-2)i|=|2x+(2y-1)i. 両辺を2乗して,
..
x2+(y-2)=4.x2+ (2y-1) 2
∴.3x²+3y²-3=0
したがって、x2+y2=1 となるから, zの全体は原点 0 を中心とする半径1の円
(単位円) である.
..
【別解】|z-2i|=|2z-iにより, z2i)(z2i) = (2z-i) (2z-i)
zz +4=4zz+1
.. (z−2i)(z+2i)=(2z−i) (2z+i)
∴.|z|2=1
|z|=1
(ウ) zwの変換を図形的にとらえる. zz × (2i)zx(2i) + 1 (=ω)と考
えると, 点zを原点Oを
y4
Y₁
..
中心に90°回転して2倍
をして,さらに実軸方向
に1だけ平行移動して得
られる点がwである.
|z-1|=2は点1を中心
とする円である. この円は,中心と半径に着目すると上図のように移される.
よってQ(ω) は,中心 1+2i, 半径40円 | w-1-2i|=4上にある.
YA
2
B
4
$2
O
2
0 1
C
|z +B|2=|B|2-1が円を表すな
ら左辺 | z + B12 は正の実数.
←la+bil=√a²+62
■lz-2il=22-1/2により.
|z|26|:|z-/|-2:1
であるから, アポロニウスの円の
知識 (13) を使って答えを確認
できる.
[逆手流 (13) で解くと]
w=1+2iz をzについて解い
w-1
て, z=
2i
|z -1|=2に代入して,
w-1
-1=2
∴. |w-1-2i|=2|2i|=4
