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本事項 錠、
を利用。
b
「基本例題
158 三角形の成立条件, 鈍角三角形となるための条件
AB=2, BC=x, CA=3である △ABC がある。
(1)xのとりうる値の範囲を求めよ。
△ABC が鈍角三角形であるとき,xの値の範囲を求めよ。
(1)三角形の成立条件|b-c| <a<b+c を利用する。
[類 関東学院大 ]
p.248 基本事項 3. 4 重要 159
ここでは,|3-21 <x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。
(2)鈍角三角形において,最大の角以外の角はすべて鋭角であるから、最大の角が鈍
角となる場合を考えればよい (三角形の辺と角の大小関係より、最大の辺を考える
ことになる)。そこで, 最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。
例えばCA(=3) が最大辺とすると,
∠B が鈍角 cos B<0 ⇒
c²+a²-6²
2ca
<0⇔c+α²-62<0
よくわか
んない
となり,b2c2+α が導かれる。 これに b=3,c=2, a=x を代入して, xの2次不
等式が得られる。
(1)三角形の成立条件から 3-2<x<3+2
よって
1 <x<5
(2)どの辺が最大辺になるかで場合分けをして考える。
[1] 1<x<3のとき, 最大辺の長さは3であるから,そ
の対角が 90° より大きいとき鈍角三角形になる。
32>22+x2
<|x-3|<2<x+3 または
|2-x|<3<2+x を解い
てxの値の範囲を求め
てもよいが、面倒。
(1) から 1 <x
[1] 最大辺が CA=3
A
4
章
18
sinBから
sin Asina
sinCから
Sin B: sinc
(*)となる
として
解答
ゆえに
すなわち
x2-5<0
b=√3h
よって
(x+√5)(x-√5)<0)
2
(+)+)
②
ゆえに
-√5<x<√5 (+2) (1)
255B
A>B>
最大の
係。
参照
3
x
1 <x<3との共通範囲は 1 <x<√5-1
B> 90°⇔ AC2 > AB2+BC2
[2] 3≦x<5のとき,最大辺の長さはxであるから, そ (1) から x<5
の対角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
[2] 最大辺が BC=x
ゆえに
x2>22+32
すなわち
x2-13>0
(1)(A
(IS)(1-2
S)(F B
3
よって
ゆえに
(x+√13)(x-√13)>0
x<-√13,√13<x
3≦x<5との共通範囲は
√13 <x<5
[1], [2] を合わせて 1 <x<√5, √/13 <x<5
x
STA>90° BC2>AB²+AC²
参考鋭角三角形である条件を求める際にも,最大の角に着目
し、最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。
大辺を変形し、
練習 AB=x, BC=x-3, CA = x +3である△ABCがある。 [類 久留米大
158(1)のとりうる値の範囲を求めよ。
1
の範囲を求めよ。 p.263 EX113/
