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文字係数の2次関数の最大・最小
(1)
p.84 基本事項 ② 基本 54
基 本 例題 56
か
aは定数とする。関数y=x-2ax+α (0≦x≦2) の最大値,最小値を
の各場合について, それぞれ求めよ。
(1) a≦0 (2) 0<a<1
(3) a=1
CHART
OLUTION
解答
係数に文字を含む2次関数の最大・最小
軸と定義域の位置関係で場合分け
まず,基本形にすると
y=(x-a)²-a²+a
このグラフの軸は直線x=α で, 文字 α を含んでいるから,αの値によって、
軸(グラフ)の位置が変わる。 そこで、各場合についてそれぞれのグラフをかき,
軸がどの位置にあるか確認する。その際,頂点と端点に注目する。x+
(1) α≦0 のとき
y=x2-2ax+a=(x-a)^-a²+a
この関数のグラフは下に凸の放物線で, 頂点は点 (α, -d'+α),
軸は直線x=α である。
また
x=0 のときy=a, x=2のときy=4-3a
(1) ~ (5) のそれぞれの場合のグラフは,図のようになるから
(1) ¦
x=2で最大値4-3a
x=0 で最小値 α
(2) 0<a<1のとき
x=2で最大値4-3a
x=α で最小値-α²+α
(3) α=1のとき
x=0, 2 で最大値1
x=1 で最小値0
(4) 1<a<2のとき
x=0 で最大値 α
x=α で最小値-α'+α
(4) 1<a<2
OPGE BE
-a²+a
(2) YA
4-3a
|y₁
4-3a
a0
ta
(5) a≧2
2 x
基本形に直す。
定義域の中央はx=
軸の位置は, それぞれ
(1) 定義域の左外
(2) 定義域内の左寄
(3) 定義域内の中央
(4) 定義域内の右寄
(5) 定義域の右外
