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基本 例題100 媒介変数と軌跡
OOOOOの
aは定数とする。放物線 y=x°+2(a-2)x-4a+5 について, aがすべて
の実数値をとって変化するとき, 頂点の軌跡を求めよ。
基本 99
基本 101, 重要 102
CHARTO
OLUTION
x, yが変化する文字 a を用いて表される点の軌跡
つなぎの文字を消去して, x, yだけの関係式を導く
頂点の座標を(x, y) とすると x=(aの式), y=(aの式)の形に表される。
ここから,つなぎの文字aを消去して, x とyの関係式を導く。
解答
3章
放物線の方程式を変形すると
ソx+(a-2)2-+
放物線の頂点をP(x, y) とすると
合y={x+(a-2)}?
ー(a-2)?-4a+5
1
a=0
13
a=1
1 2
←放物線 y=a(xー)+Q
の頂点の座標は(p, q)
a
x=-a+2
の
0
3
x
ソ=ーa+1
Dから
これを②に代入して
ソ=ー(ーx+2)?+1
したがって, 求める軌跡は
放物線 y=ー(x-2)?+1
a=-x+2
-3a-2の a=-2 0
合つなぎの文字aを消去。
INFORMATION
図形の方程式が x=f(t), y=g(t) のように, もう
1つ別の変数 t(媒介変数) を使って表されたとき,
これを媒介変数表示という。
1つの実数 tの値に対して, x=f(t), y=g(t) によ
り, (x, y) の値が1つに決まり, tが実数の値をとっ
て変化すると, 点 (x, y) は座標平面上を動き, 図形
き描く。
x=t+1, y=t°は放物線 y3(x-1)? を表す。
実際に点をとると, 右の図のようになる。
(3,4)
t=2
t=-2
t=-1
t=1
例
t=0
は
軌跡と方程式
