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基本 例題 202 変化率
00000
(1)地上から真上に初速度 49m/s で投げ上げられた物体のt秒後の高さんは
h=191-4.9P(m)で与えられる。この運動について次のものを求めよ
し, vm/sは秒速vm を意味する。
(ア) 1秒後から2秒後までの平均の速さ
(2) 10 cm
(イ)2秒後の瞬間の速さ
とき,球の体積の5秒後における変化率を求めよ。
ただ
p. 314 基本
指針 (1)高さんは時刻tの関数と考えることができる。 h=f(t)=49t-4.9t2 とする。
(ア) 平均の速さとは,平均変化率と同じこと。 (んの変化量) (tの変化量) を計
算。
(イ)2秒後の瞬間の速さを求めるには 2秒後から2+6秒後までの平均の速さ
均変化率)を求め, 6 → 0 のときの極限値を求めればよい。 つまり、微分係数
f'(2) が t=2 における瞬間の速さである。
(2) まず, 体積Vを時刻tの関数で表す。 これをV=f(t) とすると, 5秒後の変化率
t=5 における微分係数 f' (5) である。
taから6まで変化す
(1) (ア)
(49.2-4.9.22)(49・1-4.9.12)
2-1
=34.3(m/s)
解答
(イ) t秒後の瞬間の速さはんの時刻 t に対する変化率
るときの関数f(t)の平
変化率は
f(b)-fla
dh
b-a
である。 hをtで微分すると
=49-9.8t
dh
dt
については,下の
dt
(1)-9
求める瞬間の速さは, t=2として
注意 参照。 '=49-9.8t
49-9.8・2=29.4(m/s)=p
(2) t秒後の球の半径は (10+t) cm である。
と書いてもよいが,
3
t秒後の球の体積をVcm とするとV=1(10+t
dV 4
V を tで微分して
dt
dv=7.3
・3(10+t)2・1=4z(10+t)
求める変化率は,t=5として
4(10+5)=900(cm²/s)
と書くと関数を
微分していることが式か
ら伝わる。
{ (ax+b)"}'
=n(ax+b)"' (ax+b)
変数が x,y以外の文字で表されている場合にも, 導関数は今までと同様に取り扱う。例え
dh d
ば、関数=f(t) の導関数はf(t),
dt' dt
f(t) などで表す。また,この導関数を求め
ることを,変数を明示してh を tで微分するということがある。
