重要 例題 83 共点と共線の関係
異なる3直線
x+y=1
① 3x+4y=1
2, ax+by=1 ..…...
が1点で交わるとき, 3点 (1,1),(3,4), (a,b) は一直線上にあることを示せ。
基本 82
指針 2直線 ① ② の交点の座標を求め、その交点が直線 ③ 上にあるための条件式を導く。
そして,2点 (1,1),(3,4) を通る直線上に点 (a,b) があることを示す。 ・・・・・・
また,
のように、次の性質を利用する方法もある。
点(g) が直線ax+by+c=0)上にある
ap+bg+c=0
⇒点(a,b) が直線px+qy+c=0上にある
① ② を連立して解くと
x=3、y=-2
2直線①, ② の交点の座標は (3,-2)
点 (3,-2) は直線 ③ 上にあるから
3a-26=1・・・・ A
また, 2点 (1,1),(3, 4) を通る直線の (a, b)
方程式は y-1=
すなわち
3x-2y=1
7 ⑩ から,点(a,b) は, 直線3x-2y=1上にある。
よって, 3点 (1,1),(3,4), (a, b) は直線3x-2y=1上にあ
4-1
3-1
つまり
(3)
4
...... 5
...... ⑥
YA
人 3x-2y=1
11
(3,-2)
p.1+g*1=1
p•3+q*4=1
patgb=1
であり
p0 または q≠0
ゆえに, 方程式x+gy=1...... ⑦ を考えると, ④~⑥か
5,3点 (1,1),(3,4), (a,b は直線 ⑦ 上にある。
00000
x
る。
別解 原点を通らない3直線①, ②, ③ が1点で交わるから, x=y=0のとき, ①, ②,
③ はどれも不成立。
その点をP(p,q) とすると, Pは原点にはならない。
3 直線 ① ② ③ が, 点Pを通ることから
p+g=1,3p+4g=1, ap+bg=1
係数に文字を含まない ①,
② を使用する。
◄3a-2b=1
⇒点(α, b) は直線
3x-2y=1 上にある。
点 (p,q) が直線
x+y=1上にある
⇔p+y=1
⇒点 (1,1) が直線
px+qy=1上にある。
p = 0 または0であるか
ら⑦は直線を表す。
