464 第8章 整数の性質
考え方
解
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例
題
263 格子点
(1)1つの有理点(x,y座標がともに有理数である点)しかあ
(2) a, bを異なる自然数とするとき, 2点A(a, 0), B (0, b) を結ぶ
ない直線の例を1つ挙げよ.
線分AB (両端を除く)の上の格子点(x,y座標がともに整数です
Ta
2点A,Bを通る
ある点)の個数は,α, 6 の最大公約数をc とすると, c-1) 個であ
ることを示せ .
20
X
(1) まず,ただ1つ通る有理点を考える. ここでは原点を通る直線として考える
(2) 線分ABの方程式を考え,それと a, b の最大公約数c を考える。
(1) y=√x (有理点(0, 0) のみ通る)
(理由) (00) 以外の有理点 (xo,yo) (x≠0) を通ると背理法で示す。
すると, yo=√3 x となる.
ここで、一番となり、メタ
なってしまい矛盾する.
したがって (0, 0) 以外の有理点を通らない. 1つも有理点を通らない
直線は, y=√3+1
など､
(②2) 線分ABの方程式は
y = = 1/(x²-0) + b
= となり、√3が有理数と xo,yo が有理数より
a,bの最大公約数はcであるから,
[a=ca'
(α', 6' は互いに素)
|b=cb'
b
Px5 とおける、これをABの方程式に代入して
y
b'x
0
7411 +12/11=1①より,
ca cb'
+y=cb'
a'
b'x
右辺は整数,yは整数より,
も整数, α' と'は 分数のところに注意
互いに素より, xは α' の倍数, すなわち,
a
る.
x=ka' (kは自然数)
(x
x+y=1(x>0,y>0)
x+1=1
とおける.同様に,
これらを①に代入すると,
1+1=2より、
k l
C
O
(lは自然数) とおける .
l'
k+1=c....... ②
皿は有理数
X0
線分なので、x,yの
囲に注意する.
34
B(0,b)
Ala
② を満たす正の整数 (k,l) は,
(1, c-1), (2, c-2),
, (c-1, 1)
よって,題意を満たす格子点の個数は, (c-1) 個である.
●注 (2)の結果より, α, bが互いに素のとき､線分 ARが存在しない。
練習
