基本
例題
87 曲線に接線が引けるための条件
①①①①①
|曲線 y=exe に,点 (a, 0) から接線が引けるような定数αの値の範囲を求めよ。
指針
基本8 重要 119
ex0 であるから,点(a, 0) は曲線y=ex 上にない。 そこで, p. 144 基本例題 82
と同様に,次の方針で進める。
接点の座標を (t, f(t)) として接線の方程式を求める。
y-f(t)=f'(t)(x-t)
[2] 接線が点 (α,0) を通る条件から,tの2次方程式を導く。
3
②の2次方程式が実数解をもつ条件 (判別式 D≧0) を利用。
接線が引ける⇔接点が存在する
1
CHART 共有点⇔実数解
(0<
y=exから
y'=-2xex2
解答 接点の座標を (t, e-f) とすると,接線の方程式は
y-e-f2te- (x-t)
0.0<
(*)
この直線が点 (a, 0) を通るとすると
-et=-2te-(a-t)
両辺をet (≠0) で割って
整理して 2t2-2at+1=0
-1=-2t(a-t)
①
接線が引けるための条件は, tについての2次方程式 ①が
実数解をもつことである。
ゆえに、①の判別式をDとすると
D≧0
D
=(-a)-2.1=(a+√2)(a-√2)
4
よって
(a+√2) (a-√2)≧0
したがって
a≦-√2/√2≦a
(*) を y=xの形
に直してからx=a,
y=0 を代入するよりも
(*)に直接代入する方が
早い。
2次方程式 px2+gx+r=0
が実数解をもつ⇔
q²-4pr≥0
接点のx座標 tは,① の
a±√a2-2
解でt=
2
