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Mathematics Senior High

これでもあってますか??

114 第3章 図形と方程式 標問 51 交点の軌跡 (1) αを任意の実数とするとき, 2つの直線ax+y=a, x-ay=-1の交 点はどんな図形をえがくか. (2) // sa≦√3のとき(1)の2直線の交点はどんな範囲にあるか. ・精講 パラメータαを含む2直線の交点の 軌跡を求める問題です。 求める軌跡 をCとすると,Cは, パラメータαによって決ま 点(x,y) の全体ですから (x,y)EC ⇔ ax+y=a |x-ay=-1 ということになります。 このとき 上の連立方程式を解いて をみたす実数 αが存在する a²-1 2a a²+1, y=a²+1 x=- とする必要はありません。 2式をみたす実数αが 存在するためのx,yの条件を求めます. (i)y=0 のとき, ②' をみたす α が存在するのは x=-1のときであり,このとき① は -α+0=a となるので, a=0 が ① ②' をみ す。 すなわち, (x,y)=(-1, 0) は条件をみたす. (ii)y=0 のとき,②' をみたすαの値は α = - x+1 y これが①もみたすためのx,yの条件は x+1 ••x+y=₁ x+1 y y 解法のプロセス 図形 f(x, y, a) = 0 g(x, y, a)=0 の交点の軌跡 CEVIC ↓ 解答 (1) ax+y=a ...... ① x-ay=-1 ...... ② ① ② をみたす実数α が存在するためのx,yの条件を求める. ②はya=x+1 ・・・・・・ ②' と変形できる. これをαについての方程式とみる. (愛知学院大) (1) 2式をみたす実数α が存在 するためのx,yの条件を求 める (2) 2式をみたすαが 1≦a≦√3の範囲に存在 するためのx,yの条件を求 める x2+y^2=1かつy=0 任意の実数a に対して②は成 立 ← ①, ② をみたすα は 0 0 1 -1 /1x HA (i), (ii) より 求める交点の軌跡は 円x2+y2=1 ただし, 点 (1, 0) を除く. MOLD $2 1/1/35 sas/3③として, ①, ②, ③ をみたす実数a が存在するため (2) のx,yの条件を求める ( 1 ) より (i)y=0 のとき, ①, ② をみたすα が存在する条件はx=1であり、この とき, αは0であるが,これは③をみたさない. (ii)y=0 のとき, ①, ②, ③ をみたすαが存在するためのx,yの条件は YA 1 x² + y² = 1/² √² ≤x+1 ≤ √ 3..... y -1<x<1 より x+1>0であり、④から0. 以上 (i), (i) より 求める交点の軌跡は x2+y²=1 x+1 -≤ y ≤√√3(x+1) √3 [x² + y² = 1 E B 115 /3 2 2 -≤y≤1 -1 別解 2直線ax+y=a ...... ①, x-ay = -1... ② の位置関係を調べる とαの値にかかわらず, ①は定点A (1, 0), ② は定点B(-1, 0) を通り, ① と ②は直交している. よって, ①, ② の交点は A,Bを直径の両端とする円上を動く. (1) α がすべての実数を動くとき, ①は直線x=1 以外 のAを通る直線すべてを表す. ② も直線y=0 以外 のBを通る直線のすべてを表す。 よって,交点の軌跡は 円x2+y^2=1 ただし, 点 (1, 0) は除く. (2) 1/15 ≦a≦√3より,① の傾き -αのとり得る範囲 は -√3≤-as-√3 であり,右図より,交点の軌跡は,円x2+y²=1の √3 -My≦1の部分である. 0 AL B YA 11 1x 0 -1 -1 傾き 15 傾き 第3章 A 1 x √3 1-√3 演習問題 (51-1) 2直線y=tx, y=(t+1)x-t の交点をPとする. tが変化するとき, Pの軌跡の方程式を求めよ. (学習院大 ) 51-2 xy平面において円 (x-t)^2+y^2=t と直線y=tx の交点をP(t) と する.t が正の実数を動くとき,P(t) のえがく曲線を求めて, それを図示せよ. ( 広島文教女大)

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Mathematics Senior High

(2)を積の微分を用いないで教えてください...

264 第7章 積分法とその応用 標問 117 積分方程式 次の関係式をみたす整式f(x) を求めよ. (1) f(x)=1+((1-t)f(t)dt (2) √₁²f(t)dt = xf(x)+x²+x0²³ 未知の積分を含む等式を積分方程式 といいます. ○精講 積分方程式には、大まかに2つのタイプがあり, その解法には一定の手順があります。 Sf(t)dt を含むもの → Sof(t)dt=k (定数) とおく. Sf(t)dt を含むもの →xで微分する. 本問の(1),(2)がそれぞれのタイプに対応してい ます. (1) の積分の両端が定数タイプのものは,関 数が未知だから, 直接 Sof(t)dt の値を求めるこ とはできません. しかし, この値はなんらかの定 数となるので,それを適当な文字んでおきかえま す。 これに対して, (2)の積分の両端のうち少なくと も一方が変数のタイプは,微分して積分記号をは ずすことを考えます. その際, dif(t)dt = f(x) を使うので,定数項に関する情報が消えます . Sof(t)dt=0 などを利用して,これを補います. (1) 与えられた等式は 〈解答 ƒ(x)=1+xſ^ƒ(t) dt—S'tƒ(t) dt 解法のプロセス Sof(t)dt (東北学院大 ) (学習院大) 分方程式 定数んとおく (1) S(x-t)f(t) dt =ax-b La ↓ = xf²f(t) dt-Stf (t) at する (は積分記号の外に出す) (2) F(x)=f(t) dt [F'(x)=f(x) (F(1)=0 2121-130 xを積分記号の外に出す と変形できる. Sof(t)dt=a, Sotf(t)dt=6 とおくと f(x)=1+az-b=ax+(1-b) である. これより | a=S₁s (1)dt =[a+ ² + (1-6) ₁] = 2 +1 | b-Sir(t) at = a + (1-6). ] = + +1-6 2 (a+26=2 l2a-96=-3 12 6 よって, f(x)=1/3x+- 13 (2) 両辺をxで微分して 12 13' f(x)={f(x)+xf'(x)}+2x+3x2 .. xf'(x)+2x+3.²=0 (f'(x)+2+3x) = 0 任意のxに対してこの等式が成り立つことから f'(x)=-3.x-2 与えられた式でx=1 とおくと f(1)+2=0 ... f(1)=-2 ゆえに (4) 3 :. f(x)=2x²-2x+C (CH) 3 2-2+C=-2 3 3 よって、f(x)=12/22-2x+1/2 b= 7 13 0531 265 2 演習問題 (117 (1) f(x)=2x+120'f(x)dz (2) f(x)=x-2f\f(t)\dt (3)_ƒ(x)=x³+x²+S²_₁₂(x− t)²ƒ (t) dt 積の微分 (数学ⅢI) {f(r)g(x)} =f'(r) g(x)+f(x) g' (x) 10 ◆積分 Sff(t)dt を消すために, m=1 とおく 次の関係式をみたす整式f(x), g(x) を求めよ. f(x)=1+S*g(t)dt, g(x)=x(x−1)+Sª,f(t)}dt 岡山理大) (秋田大) (島根大) (慶大)

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Mathematics Senior High

数学Aの整数の問題です。 この(1)はなぜ4行目からn=3kとおいているのでしょうか。 n*4+2n*2が3kではないのはなぜですか。 教えてください!

B 00000 基本例題125 余りによる整数の分類 nは整数とする。 次のことを証明せよ。 (1) 共立薬大, (2) 学習院大 (1) n²+2m²は3の倍数である。 指針 解答 すべての整数は、正の整数mを用いて,次のいずれかの形で表される。 mk+(m-1) (hは整数) ..., mk, mk+1, mk+2, .... L CHART 整数の分類 余りで分類 (2) n²+n+1は5で割り切れない。 mで割った余りが 0 1, 2 そしてこの値は,問題に応じて決める。 (1) 「3の倍数である」=「3で割り切れる」 であるから、3で割ったときの余りを考える。 したがって, 整数全体を, 3k, 3k+1, 3k+2 に分けて考える。 (2) 5 で割った余りを考えるから, 整数全体を,5k, 5+1,5k+2,5k+3,5k+4 に分けて考える。 (1) すべての整数nは, 3k, ずれかの形で表される。 n+2n²=n²(n²+2) であるから [1] n=3kのとき [2] n=3k+1のとき [3] n=3k+2のとき *** nª+2n²=9k² (9k²+2)=3•3k²(9k²+2) $1+(18 n+2n²=(3k+1)^(9k²+6k+1+2) =3(3k+1)^(3k²+2k+1 ) p.536 基本事項 2 重要 127, 128 で割った余りは0, 1, 2, , m-1 → → mk, mk+1, mk+2,......, mk+(m-1) 3k+1,3k+2 (kは整数)のい 3445 +37 +IV)S+E m--1 よって (2) すべての整数nは,5k, 5k+1 +2²は3の倍数である。 xer (D- (複号同順) として,3×(整数)の n+2n²=(3k+2)(9k²+12+4+2になることを示すこと =3(3k+2)² (3k² +4k+2) できる。 13k-1, 3k,3k+1 と表 してもよい。 この場合、 3k+1と3k-1をまとめ て 3k±1 と書き 5k+2.5 +3 56 +4 n²+2n²=n²(n²+2) =(3k±1)²{(3k±1)²+ =(3k±1)^(9k²±6k+= =3(3k±1)^(3k²±2k+ |すべて3×(整数)の CA 15k-2, 5k-1, 5k,

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English Senior High

なぜ04はNot at all.がだめで 07のNot at all.は良いのですか?

第章 英会話 04 A: You speak English really well. B: () I'm afraid I still have a lot to learn. **No, thank you. 3 It's kind of you to say so, but 4 Not at all.) [1 BOXE □ 05 次の状況に対して,もっとも適当な表現を選べ. 40 help. (1) Thanks anyway, but I can do it myself. That's ery kind of you, thanks. (2) 3 Okay, thanks. I don't need your help. No thanks. I will help myself. (2) (3) (立命館) Someone offers to help you with your homework. You don't nee Thanks a lot. 44 Thanks a lot. 06 May I help you with that heavy suitcase? Thanks a lot. o Thanks a lot. Welcome. I'd rather not. \W THE JO2 ANDR4 26 3 No, I don't.RS, 1 SBILAR & BA I'd like to appreciate that. za I'd really appreciate that. I'm really appreciated. I'm really appreciating that. 30.1#4 07 A: Thank you for seeing me, and I do hope I haven't taken up to A much of your time. B: ( ) It was my pleasure. 1 Enjoy yourself! (3) BOY Food 08 下線部を英語に直した場合, もっとも適当なものを選べ。 Lead a happy life! 試験に合格したそうですね. おめでとう」 (2) Have a good time! (4 Congratulations! 2 Not at all. 4 No, I'm afraid not. 12 2 Happy (立命館) 09 日本文の意味を表すように空所に1語入れよ. 「A : ようやく運転免許試験に合格したよ. B: よかったね。」 A: I finally passed my driving test! B: () for you. 1 Good 3 Lucky 4 Jos (関西学院大 (立命館大 THON (東海大) (学習院大)

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