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第4問 整数の性質
【解説】
(1)
P
27+31
2n+1
(2n+1)+30_
2n+1
+
30
2n+1
Pが整数となるのは, 2n+1 が30の約数のときであるから,
2n+1 (nは正の整数) が3以上の奇数であることを考慮すると、
2n+1=3,5, 15.
②x2-
2n+2=26g
- 2n+1= ag
22m²+78m+56
R=
(n+m)(2n+1)
nmは整数であるから,Rが整数のとき、
Q-(n+m)R
このときの値は(3)より,
も数である
よって、
1 = (26-a)g
なる。
であり,それぞれのの値に対して, Rの頃は次の表のように
1,2,4,7,22
n= 1
1
n
1
2
4
7
22
(2) 2n+1
a b を用いて、
+1 は、 最大公約数および互いに素な正の整数
とすことができる。
②x2-(より,
[2n+1=0.
n+1=bg
2 b-ag=
2b-a とgはともに整数であり, g≧1 であるから,
52
60
R
80
112
276
m+1 m+2 m-+-4
m+7m+22
... a
また, n=1,2,4,7,22のそれぞれの額に対して,m=0 の
ときのRの値は次の2のようになる。
2
n 1 2 47 22
R 52 30 20 16°
138
11
g=
2③
したがって,m=0 のとき,Rがとり得る異なる整数値の総和
は、
(3)
22m²+78n+56=(n+1
(22n+56
56-11=45
=(n+1){11(2n+1)+ 45
52+30 +20 +16 118
以下,60 とする.
n=1のとき, m +1≧61 より
より,
22m² +78n+56
Q=
2n+1
2ntlentli
互いに素だから
割りきれない.
(n+1)(11(2n+1)+45}
2n+1
(+1)(1+
45
2
2n+1
2n+1
=11(n+1)+45(n+1)
ここで, (2) より 2n+1 と n+1 の最大公約数は1, すなわち,
21n+1 は互いに素であるから, Qが整数となるのは,
2n+1 が45の約数のときである。 2n+1 が3以上の奇数である
ことを考慮すると,
すなわち
2n+1=3,5, 9, 15, 45
n=1, 2, 4, 7, 22.
よって, Qが整数となるの値は全部で5
個ある。
m+1
<l すなわち <R<1
であるから, Rは整数ではない、
n=2のとき,m+262 より
0<-
m+2
であるから, Rは整数ではない.
くすなわちくR<1
n4のとき、
80
m+4
が整数となるのは、+4 が 80 の約
のときである+464であることを慮すると、
m+480 すなわちm=76.
7のとき、が整数となるのは、+7 が112の約
数のときである。 767 であることを考慮すると、
m
m+7=112 すなわちm=105.
n=22 のとき,mmが整数となるのは、+22276(火
約数のときである、+222であることを考慮すると、
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